已知a>0，a≠1，數(shù)列{an}的首項為a，公比也為a的等比數(shù)列，令bn=an·lgan (n∈N)．

(1) 求數(shù)列{bn}的前n項和Sn；

(2) 當(dāng)數(shù)列{bn}中的每一項總小于它后面的項時，求a的取值范圍．

 

答案：
解析：

(1) 由題意得，an= an，bn=n·anlga，

Sn=b1+b2+b3+…+bn=(1·a+2·a2+3·a3+…+n·an)lga．

aSn=(1·a2+2·a3+3·a4+…+n·an+1)lga．

兩式相減得，

(1－a)Sn=(a+a2+a3+…+an－n·an+1) lga

∵ a≠1，

∴ ．

(2) 由bk+1－bk=(k+1)ak+1lga－kaklga

=aklga[k (a－1)+a]

由題意知bk+1－bk>0，而ak>0．

∴ lga[k (a－1)+a]>0    ①

若a>1，則lga>0，k (a－1)+a>0．

∴ 不等式①顯然成立．

若0<a<1，則lga<0．

故不等式①k (a－1)+a<0恒成立．

∵ k</span>∈N，∴ ．

∴ 恒成立．

 


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a>0，函數(shù)f(x)=ax-bx2,

（1）當(dāng)b>0時，若對任意x∈R都有f(x)≤1，證明：a≤2；

（2）當(dāng)b>1時，證明：對任意x∈[0, 1], |f(x)|≤1的充要條件是：b-1≤a≤2；

（3）當(dāng)0<b≤1時，討論：對任意x∈[0, 1], |f(x)|≤1的充要條件。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年山東省高三下學(xué)期5月高考沖刺文科數(shù)學(xué)（解析版） 題型：選擇題

已知a>0且a≠1，若函數(shù)f （x）= loga（ax2 –x）在[3，4]是增函數(shù)，則a的取值范圍是

（    ）

A．（1，+∞）    B．

C． D．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年河北省高二第二學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（文）試卷 題型：選擇題

已知a>0，函數(shù)f（x）=x3－ax在［1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，則a的最大值是（    ）

A．0              B．1              C．2                     D．3

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：同步題 題型：單選題

已知f（x）、g（x）都是定義在R上的函數(shù)，且滿足以下條件：
①f（x）=axg（x）（a>0，a≠1）；
②g（x）≠0；
③f（x）g′（x）>f′（x）g（x）
若+=，則a等于
[     ]
A.
B.
C.2
D.2或

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a>0且a≠1，若函數(shù)f（x）= loga（ax2 –x）在[3，4]是增函數(shù)，則a的取值范圍是（    ）

A．（1，+∞）     B．     C．    D．

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