Question

2．已知函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，而且在（0，+∞）上是減函數(shù)，判斷f（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并證明．

Answer 1

分析 用單調(diào)性定義來證明，先在給定區(qū)間上取兩個變量，且界定大小，不妨設(shè)x₁＜x₂＜0則有-x₁＞-x₂＞0，再由“f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)”可得到f（-x₁）＞f（-x₂），然后由“f（x）是偶函數(shù)”轉(zhuǎn)化為f（x₁）＜f（x₂），再由單調(diào)性定義判斷．

解答 解：f（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)（1分）
證明：設(shè)x₁＜x₂＜0則-x₁＞-x₂＞0（3分）
∵f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)
∴f（-x₁）＜f（-x₂）（7分）
又f（x）是偶函數(shù)
∴f（-x₁）=f（x₁），f（-x₂）=f（x₂）
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)（12分）

點評 本題主要考查奇偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性，結(jié)論是：偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反，奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同．