Question

已知f（x）=x²+x．，數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁＞0，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）．
（1）比較a_n+1與a_n的大小
（2）判斷并證明數(shù)列{a_n}是否能構(gòu)成等比數(shù)列？
（3）若，求證：1＜＜＜…＜＜2（n≥2，n∈N^*）．

Answer 1

【答案】分析：（1）由a_n+1=a_n²+a_n⇒a_n+1-a_n=a_n²≥0，a₂=a₁²+a₁＞0，依次遞推，得a₃＞0，a₄＞0，…，a_n＞0．由此能夠比較a_n+1與a_n的大�。�
（2）若{a_n}為等比數(shù)列，設(shè)公比為q，則為常數(shù)，由此能夠證明{a_n}不能為等比數(shù)列．
（3）由，知，所以．由此能夠證明1＜＜＜…＜＜2（n≥2，n∈N^*）．
解答：解：（1）由a_n+1=a_n²+a_n⇒a_n+1-a_n=a_n²≥0，
a₂=a₁²+a₁＞0，
依次遞推
得，a₃＞0，a₄＞0，…，a_n＞0．
所以?n∈N*，a_n+1＞a_n．
（2）若{a_n}為等比數(shù)列，設(shè)公比為q，
則為常數(shù)，
所以q=1，即a_n=0．
所以{a_n}不能為等比數(shù)列．
（3）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101224709129550264/SYS201311012247091295502019_DA/8.png">，
所以，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101224709129550264/SYS201311012247091295502019_DA/11.png">，
所以a_n+1≥a₃＞1（n≥2），
，
即1＜＜＜…＜＜2（n≥2，n∈N^*）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．