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已知數列{an}滿足:a1=1,a2=a(a≠0),(其中p為非零常數,n∈N*).
(1)判斷數列是不是等比數列?
(2)求an;
(3)當a=1時,令,Sn為數列{bn}的前n項和,求Sn
【答案】分析:(1)由an+2=p•可求得=p•,利用等比數列的定義即可判斷數列是否為等比數列;
(2)利用累乘法an=•a1=(apn-2)×(apn-3)×…×(ap)×1即可求得an;
(3)當a=1時,bn==np2n-1,利用錯位相減法與分類討論思想即可求得數列{bn}的前n項和Sn
解答:解:(1)由an+2=p•=p• …(1分)
令cn=,則c1=a,cn+1=pcn
∵a≠0,
∴c1≠0,故=p(非零常數),
∴數列是等比數列,…(3分)
(2)∵數列{cn}是首項為a,公比為p的等比數列,
∴cn=c1•pn-1=a•pn-1,
=apn-1.          …(4分)
當n≥2時,an=•a1=(apn-2)×(apn-3)×…×(ap)×1=an-1,…(6分)
∵a1滿足上式,
∴an=an-1,n∈N*.        …(7分)
(3)∵==(apn)×(a•pn-1)=a2p2n-1,
∴當a=1時,bn==np2n-1.    …(8分)
∴Sn=1×p1+2×p3+…+n×p2n-1,①
p2Sn=1×p3+…+(n-1)p2n-1+n×p2n+1
∴當p2≠1,即p≠±1時,①-②得:(1-p2)Sn=p1+p3+…+p2n-1-np2n+1,
∴Sn=-,p≠±1.             …(11分)
而當p=1時,Sn=1+2+…+n=,…(12分)
當p=-1時,Sn=(-1)+(-2)+…+(-n)=-.…(13分)
綜上所述,Sn=…(14分)
點評:本題考查等比數列的通項公式、等比數列求和公式、簡單遞推數列求通項、錯位求和等知識,考查了學生的運算能力,以及化歸與轉化、分類討論的思想,屬于難題.
練習冊系列答案
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已知數列{an}滿足:a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
, n∈N*

(1)若數列{bn}滿足:bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)
,試證明數列bn-1是等比數列;
(2)求數列{anbn}的前n項和Sn;
(3)數列{an-bn}是否存在最大項,如果存在求出,若不存在說明理由.

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已知數列{an}滿足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1
則{an}的通項公式
 

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已知數列{an}滿足:a1=
3
2
,且an=
3nan-1
2an-1+n-1
(n≥2,n∈N*).
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)證明:對于一切正整數n,不等式a1•a2•…an<2•n!

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已知數列{an}滿足an+1=|an-1|(n∈N*
(1)若a1=
54
,求an
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(2012•北京模擬)已知數列{an}滿足an+1=an+2,且a1=1,那么它的通項公式an等于
2n-1
2n-1

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同步練習冊答案
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