（理科）已知函數(shù)f（x）=（1+x）2-2ln（1+x）．
（1）若存在x0∈[0，1]使不等式f（x0）-m≤0能成立，求實數(shù)m的最小值；
（2）若關于x的方程f（x）=x2+x+a在[0，2]上恰有兩個相異實根，求實數(shù)a的取值范圍．

解：（1）要存在x0∈[0，1]使得不等式f（x0）-m≤0能成立，只需x∈[0，1]時，m≥f（x）min．
求導得f′（x）=2（1+x）-，定義域為（-1，+∞），
∵當x∈（-1，0）時，f′（x）＜0，∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，0）上是減函數(shù)；
當x∈（0，+∞）時，f′（x）＞0，∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)．
∴f（x）min=f（0）=1，∴m≥1．故實數(shù)m的最小值為1．
（2）關于x的方程f（x）=x2+x+a在[0，2]上恰有兩個相異實根，即方程1+x-2ln（1+x）=a在區(qū)間[0，2]上恰有兩個相異實根．
設h（x）=（1+x）-2ln（1+x），則h′（x）=
由h′（x）＞0，得x＞1或x＜-1（舍去）；由h′（x）＜0，得-1＜x＜1．
∴h（x）在[0，1]上遞減，在[1，2]上遞增．
∵h（　�。緃（2），且h（x）在[0，2]上連續(xù)
∴方程1+x-2ln（1+x）=a在區(qū)間[0，2]上恰有兩個相異實根時，h（1）＜a≤h（2）
∴2-2ln2＜a≤3-2ln3，
∴實數(shù)a的取值范圍是（2-2ln2，3-2ln3）．
分析：（1）要存在x0∈[0，1]使得不等式f（x0）-m≤0能成立，只需x∈[0，1]時，m≥f（x）min，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，可以得到f（x）在（-1，0）上為減函數(shù)，f（x）在（0，+∞）為增函數(shù)，即f（x）的最小值為f（0）=1，所以m的最小值為1
（2）原題設即方程1+x-2ln（1+x）=a在區(qū)間[0，2]上恰有兩個相異實根，令h（x）=1+x-2ln（1+x），這時只需解出h（x）在[0，2]上的值域，就可以得出a的取值范圍．
點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，本題比較新穎的地方是，求解（2）中的a的取值范圍，經過等價變換，只需求h（x）=（1+x）-2ln（1+x）的值域，從而解出a的取值范圍．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（理科）已知函數(shù)f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調性；
（2）若函數(shù)y=f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，對任意的t∈[1，2]，若函數(shù)g(x)=x3+x2[f/(x)+
m
2
]在區(qū)間（t，3）上有最值，求實數(shù)m取值范圍；
（3）求證：ln（22+1）+ln（32+1）+ln（42+1）+…+ln（n2+1）＜1+2lnn!（n≥2，n∈N*）
（文科） 已知函數(shù)f(x)=ax3+
1
2
x2-2x+c
（1）若x=-1是f（x）的極值點且f（x）的圖象過原點，求f（x）的極值；
（2）若g(x)=
1
2
bx2-x+d，在（1）的條件下，是否存在實數(shù)b，使得函數(shù)g（x）的圖象與函數(shù)f（x）的圖象恒有含x=-1的三個不同交點？若存在，求出實數(shù)b的取值范圍；否則說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（理科）已知函數(shù)f（x）=3-4asinxcosx+4cos2x-4cos4x．若函數(shù)f（x）的最小值為1，求a的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（理科）已知函數(shù)f（x）=xlnx．
（1）若存在x∈[
1
e
，e]，使不等式2f（x）≥-x2+ax-3成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）設0＜a＜b，證明：f(a)+f(b)-2f(
a+b
2
)＞0．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（理科）已知函數(shù)f(x)=
(3-a)x-3，(x≤7)
ax-6，(x＞7)
若x∈Z時，函數(shù)f（x）為遞增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為
（2，3）
（2，3）
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•甘肅一模）（理科）已知函數(shù)f（x）=（1+x）2-2ln（1+x）．
（1）若存在x0∈[0，1]使不等式f（x0）-m≤0能成立，求實數(shù)m的最小值；
（2）若關于x的方程f（x）=x2+x+a在[0，2]上恰有兩個相異實根，求實數(shù)a的取值范圍．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案