Question

（22）已知｛a_n｝是由非負(fù)整數(shù)組成的數(shù)列，滿足

a₁＝0，a₂＝3，a_n＋1a_n＝（a_n－1＋2）（a_n－2＋2），n＝3，4，5，…．

（Ⅰ）求a₃；

（Ⅱ）證明a_n＝a_n－2＋2，n＝3，4，5，…；

（Ⅲ）求｛a_n｝的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

（22）本小題主要考查數(shù)列與等差數(shù)列前n項(xiàng)和等基礎(chǔ)知識(shí)，以及準(zhǔn)確表述，分析和解決問題的能力.

解：

（Ⅰ）由題設(shè)得a₃a₄＝10，且a₃、a₄均為非負(fù)整數(shù)，所以a₃的可能的值為1，2，5，10． 

若a₃＝1，則a₄＝10，a₅＝，與題設(shè)矛盾．

若a₃＝5，則a₄＝2，a₅＝，與題設(shè)矛盾．

若a₃＝10，則a₄＝1，a₅＝60，a₆＝，與題設(shè)矛盾.

所以a₃＝2.                                                              

 

（Ⅱ）用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)n＝3，a₃＝a₁＋2，等式成立．

②假設(shè)當(dāng)n＝k（k≥3）時(shí)等式成立，即a_k＝a_k－2＋2，

 

由題設(shè)a_k＋1a_k＝（a_k－1＋2）（a_k－2＋2），

因?yàn)?I>a_k＝a_k－2＋2≠0，

所以a_k＋1＝a_k－1＋2，

也就是說，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式a_k＋1＝a_k－1＋2成立．

根據(jù)①和②，對(duì)于所有n≥3，有a_n＋1＝a_n－1＋2.                 

 

（Ⅲ）由a_2k－1＝a_{2（k－1）－1}＋2，a₁＝0，及

 

a_2k＝a_2（k－1）＋2，a₂＝3得a_2k－1＝2（k－1），a_2k＝2k＋1，k＝1，2，3，…．

 

即a_n＝n＋（－1）ⁿ，n＝1，2，3，….                               

 

所以S_n＝