Question

如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是BD、BB₁的中點．
（I）求證：EF∥平面A₁B₁CD；
（II）求證：EF⊥AD₁．

Answer 1

證明：（I）連接B₁D

∵E、F分別是BD、BB₁的中點，∴EF∥B₁D
∵B₁D?平面A₁B₁CD，EF?平面A₁B₁CD
∴EF∥平面A₁B₁CD；
（II）∵A₁B₁⊥平面ADD₁A₁，A₁D?平面ADD₁A₁，
∴A₁B₁⊥AD₁，
∵A₁D⊥AD₁，A₁B₁∩A₁D=A₁，
∴AD₁⊥平面A₁B₁CD
∵EF?平面A₁B₁CD
∴EF⊥AD₁．
分析：（I）連接B₁D，利用E、F分別是BD、BB₁的中點，可得EF∥B₁D，從而可得EF∥平面A₁B₁CD；
（II）證明A₁B₁⊥AD₁，A₁D⊥AD₁，可得AD₁⊥平面A₁B₁CD，從而可得EF⊥AD₁．
點評：本題考查線面平行，考查線線垂直，解題的關(guān)鍵是掌握線面平行、線面垂直的判定方法，屬于中檔題．