Question

已知a≠0，函數(shù)，g（x）=-ax+1，x∈R．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）若在區(qū)間上至少存在一個實數(shù)x，使f（x）＞g（x）成立，試求正實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）對函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，當(dāng)f'（x）＜0時的x的區(qū)間即是原函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．
（2）令F（x）=f（x）-g（x），只要函數(shù)F（x）在區(qū)間（0，]上的最大值大于0即可得到答案．
解答：解：（I）由求導(dǎo)得，f'（x）=a²x²-2ax．
①當(dāng)a＞0時，由，解得
所以在上遞減．
②當(dāng)a＜0時，由可得
所以在上遞減．
綜上：當(dāng)a＞0時，f（x）單調(diào)遞減區(qū)間為；
當(dāng)a＜0時，f（x）單調(diào)遞減區(qū)間為
（Ⅱ）設(shè)．
對F（x）求導(dǎo)，得F'（x）=a²x²-2ax+a=a²x²+a（1-2x），
因為，a＞0，所以F'（x）=a²x²+a（1-2x）＞0，F(xiàn)（x）在區(qū)間上為增函數(shù)，則．
依題意，只需F（x）_max＞0，即，
即a²+6a-8＞0，解得或（舍去）．
所以正實數(shù)a的取值范圍是．
點評：本題主要考查通過求導(dǎo)求函數(shù)增減性的問題．當(dāng)導(dǎo)數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減．