Question

已知f（x）是在R上單調(diào)遞減的一次函數(shù)，且f[f（x）]=4x-1．
（1）求f（x）；
（2）求函數(shù)y=f（x）+x²-x在x∈[-1，2]上的最大與最小值．

Answer 1

分析：（1）由題意可設f（x）=ax+b（a＜0），由f[f（x）]=4x-1可得

a2=4 ab+b=-1

，解出a與b，即可得到函數(shù)解析式；
（2）由（1）知，函數(shù)y=x²-3x+1，可得函數(shù)圖象的開口方向與對稱軸，
進而得到函數(shù)函數(shù)在[-1，

3

2

]上為減函數(shù)，在[

3

2

，2]上為增函數(shù)．故可函數(shù)y=f（x）+x²-x在x∈[-1，2]上的最值．

解答：解：（1）由題意可設f（x）=ax+b，（a＜0），
由于f[f（x）]=4x-1，則a²x+ab+b=4x-1，
故

a2=4 ab+b=-1

，解得a=-2，b=1．
故f（x）=-2x+1．
（2）由（1）知，函數(shù)y=f（x）+x²-x=-2x+1+x²-x=x²-3x+1，
故函數(shù)y=x²-3x+1圖象的開口向上，對稱軸為x=

3

2

，
則函數(shù)函數(shù)y=f（x）+x²-x在[-1，

3

2

]上為減函數(shù)，在[

3

2

，2]上為增函數(shù)．
又由f(

3

2

)=-

5

4

，f（-1）=6，f（2）=-1，
則函數(shù)y=f（x）+x²-x在x∈[-1，2]上的最大值為6，最小值為-

5

4

．

點評：本題考查了待定系數(shù)法來函數(shù)的解析式，以及二次函數(shù)的最值問題，屬于基礎題．