Question

如圖，已知拋物線C：y²=2px（p＞0）上橫坐標(biāo)為4的點到焦點的距離為5．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線y=kx+b與拋物線C交于兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且|y₁-y₂|=a（a為正常數(shù)）．過弦AB的中點M作平行于x軸的直線交拋物線C于點D，連接AD、BD得到△ABD．
（i）求實數(shù)a，b，k滿足的等量關(guān)系；
（ii）△ABD的面積是否為定值？若為定值，求出此定值；若不是定值，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）依拋物線的定義可知：4，可求p，進(jìn)而可求拋物線方程
（Ⅱ）（i）聯(lián)立直線與拋物線方程，消去x，根據(jù)方程的根與系數(shù)關(guān)系可求y₁+y₂，y₁y₂．然后結(jié)合|y₁-y₂|=a，可得a，b，k之間的關(guān)系
（ii）由（i）可求AB中點M，進(jìn)而可求點D，代入三角形的面積公式，結(jié)合已知可證
解答：解：（Ⅰ）依題意：4，解得p=2．
∴拋物線方程為y²=4x．
（Ⅱ）（i）由方程組消去x得：ky²-4y+4b=0．（※）
依題意可知：k≠0．
由已知得y₁+y₂=，y₁y₂=．
由|y₁-y₂|=a，得
依題意：，解得p=2．
∴拋物線方程為y²=4x．
（Ⅱ）（i）由方程組消去x得：ky²-4y+4b=0．（※）
依題意可知：k≠0．
由已知得y₁+y₂=，y₁y₂=
由|y₁-y₂|=a，得，即，整理得16-16kb=（ak）²．
所以（ak）²=16（1-kb）
（ii）由（i）知AB中點M（），所以點D（），
依題意知
=
又因為方程（※）中判別式△=16-16kb＞0，得1-kb＞0．
所以，由（Ⅱ）可知1-kb=，
所以．
又a為常數(shù)，故△ABD的面積為定值．
點評：本題主要考查了利用拋物線的定義求解拋物線的方程，直線與曲線的相交關(guān)系的應(yīng)用及方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，還考查了一定的邏輯推理與運算的能力