Question

已知橢圓，直線(xiàn)l：，P點(diǎn)是l上一點(diǎn)，射線(xiàn)OP交橢圓于點(diǎn)R，又點(diǎn)Q在OP上且滿(mǎn)足。當(dāng)點(diǎn)P在l上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q的軌跡方程。

Answer 1

解法一：設(shè)Q ，Q點(diǎn)不在原點(diǎn)，

         顯然x,y不同是為零

         ①P點(diǎn)不在y軸時(shí)，即時(shí)

         ∵ R不在橢圓上

         ∴

         又∵

         ∵ P點(diǎn)在直線(xiàn)l上，∴

         解得：

         ∵

          

         ∵ x、y不同時(shí)為零

         ∴

         ∵ Q點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)O在直線(xiàn)l的同側(cè)

         ∴

         則：

         即：

         ②P點(diǎn)在y軸上時(shí)，P（0，8）

         k（0，4）

         可得Q（0，2），Q點(diǎn)滿(mǎn)足這個(gè)方程

         ∴ 所求的軌跡方程是

         解法二：點(diǎn)的坐標(biāo)同上，過(guò)P、R、Q分別作y軸的垂線(xiàn)，垂足分別記作

         ∵

         又∵

         ∴  

         即

         由題已知 三個(gè)量同號(hào)

         ∴

         設(shè) 射線(xiàn)OP方程為

         則

         又R也在OP上，∴

         代入中

        

        

         化簡(jiǎn)：

                  

         ∵

         則為所求的軌跡方程

                                              

解析:

本題動(dòng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)依賴(lài)于①P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。②這樣兩個(gè)關(guān)系，又O、Q、R、P、D點(diǎn)共線(xiàn)，可以把P點(diǎn)、R點(diǎn)的坐標(biāo)分別用動(dòng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)表示后一起代入③④⑤ 中去整理�；�簡(jiǎn)得軌跡方程；另外也可以過(guò)Q、R、P三點(diǎn)分別做y軸的垂線(xiàn)，將轉(zhuǎn)化成這三點(diǎn)縱坐標(biāo)的關(guān)系，再求軌跡方程。本題解法一仍是坐標(biāo)代換法的一種形式，主要是將動(dòng)點(diǎn)的相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)用動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)表示后，代入聯(lián)系著它們的等式中，求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，這里因P點(diǎn)在直線(xiàn)l：上運(yùn)動(dòng)，而該直線(xiàn)與y軸可以相交，當(dāng)P點(diǎn)在 y軸上時(shí)，R、Q也相對(duì)確定成為定值，所以在解決這個(gè)問(wèn)題時(shí)，先兩步，第一部P在直線(xiàn)l上，運(yùn)動(dòng)不在y軸時(shí)（完全是“動(dòng)態(tài)”）情況，第二步必須再看P在y軸時(shí)Q點(diǎn)做為定點(diǎn)是否符合所求的軌跡方程。這正是容易被忽略的，必須注意。

         綜上，在圓錐曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程這部分內(nèi)容中，應(yīng)掌握的求曲線(xiàn)方程的基本方法。由于求曲線(xiàn)方程是平面解析幾何兩個(gè)主要內(nèi)容之一，可以題型多，方法多。但因?yàn)樽鴺?biāo)軸平移還沒(méi)學(xué)到因而涉及到園錐曲線(xiàn)的一般式的問(wèn)題后再講。