Question

已知數列{a_n}是等差數列，a₁=1，a₁+a₂+…+a₂₀=590
（1）求數列{a_n}的通項a_n；
（2）設數列{b_n}的通項（其中a＞0，且a≠1），記S_n是數列{b_n}的前n項和．試比較S_n與的大小，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）設數列{a_n}的公差為d，由題意得，解之可得首項和公差，可得通項公式；
（2）可得S_n=log_a[（1+1）（1+）…（1+）]，=，問題轉化為比較（1+1）（1+）…（1+）與，推測（1+1）（1+）…（1+）＞，下面由數學歸納法證明，可得最后結論．
解答：解：（1）設數列{a_n}的公差為d，由題意得
解得，所以a_n=3n-2．
（2）．由a_n=3n-2，，
知S_n=log_a（1+1）+log_a（1+）+…+log_a（1+）
=log_a[（1+1）（1+）…（1+）]，
==
要比較S_n與log_aa_n+1的大小，先比較（1+1）（1+）…（1+）與
取n=1有（1+1）＞，取n=2有（1+1）（1+）＞，…，
由此推測（1+1）（1+）…（1+）＞．              ①
若①式成立，則由對數函數性質可斷定：當a＞1時，S_n＞log_aa_n+1；當0＜a＜1時，S_n＜log_aa_n+1
下面用數學歸納法證明①式．
（�。┊攏=1時已驗證①式成立．
（ⅱ）假設當n=k（k≥1）時，①式成立，即（1+1）（1+）…（1+）＞．
那么，當n=k+1時，（1+1）（1+）…（1+）（1+）＞（1+）=（3k+2）．
因為==，
所以（3k+2）＞．
因而（1+1）（1+）…（1+）（1+）＞．
這就是說①式當n=k+1時也成立．
由（�。�，（ⅱ）知①式對任何正整數n都成立．由此證得：
當a＞1時，S_n＞log_aa_n+1；當0＜a＜1時，S_n＜log_aa_n+1
由于①等價于k＜g（α），k∈Z
∴k的最大值為2
點評：本題考查等差數列的通項公式，涉及數學歸納法的應用，屬中檔題．