Question

已知

a

=（2cos

x

2

，1），

b

=（sin

x

2

，0），f（x）=

a

•

b

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若將f（x）的圖象平移

2π

3

個單位（可向上、下、左、右平移，且僅可選擇一種方向平移一次）得到g（x），求h（x）=f（x）g（x）的最小值．

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,平面向量數(shù)量積的運算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）由題意利用兩個向量的數(shù)量積公式可得 f（x）=

a

•

b

=sinx，從而求得函數(shù)的增區(qū)間．
（Ⅱ）按方案①，把f（x）的圖象向上平移

2π

3

個單位，求出g（x）以及h（x）取得最小值．按方案②，把f（x）的圖象向下平移

2π

3

個單位，求出g（x）以及h（x）取得最小值．按方案③，把f（x）的圖象向左平移

2π

3

個單位，求出g（x）以及h（x）取得最小值．按方案④，把f（x）的圖象向右平移

2π

3

個單位，求出g（x）以及h（x）取得最小值．

解答： 解：（Ⅰ）由題意可得 f（x）=

a

•

b

=2cos

x

2

•sin

x

2

=sinx，故函數(shù)的增區(qū)間為[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，k∈z．
（Ⅱ）方案①若把f（x）的圖象向上平移

2π

3

個單位，得到g（x）=sinx+

2π

3

，
∴h（x）=sinx（sinx+

2π

3

）=(sinx+

π

3

)2-

π2

9

，
∴當(dāng)sinx=-1，即 x=2kπ-

π

2

，k∈z時，h（x）取得最小值為 1-

2π

3

．
方案②若把f（x）的圖象向下平移

2π

3

個單位，得到g（x）=sinx-

2π

3

，
∴h（x）=sinx（sinx-

2π

3

）=(sinx-

π

3

)2-

π2

9

，
∴當(dāng)sinx=1時，即 x=2kπ+

π

2

，k∈z時，h（x）取得最小值為 1-

2π

3

．
方案③若把f（x）的圖象向左平移

2π

3

個單位，得到g（x）=sin（x+

2π

3

），
∴h（x）=sinx•sin（x+

2π

3

）=sinx（-

1

2

sinx+

3

2

cosx）=-

1-cos2x

4

+

3

4

sin2x=

1

2

sin（2x+

π

6

）-

1

4

，
∴當(dāng)2x+

π

6

=2kπ-

π

2

，即 x=kπ-

π

3

，k∈z時，h（x）取得最小值為-

3

4

．
方案④若把f（x）的圖象向右平移

2π

3

個單位，得到g（x）=sin（x-

2π

3

），
∴h（x）=sinx•sin（x-

2π

3

）=sinx（-

1

2

sinx-

3

2

cosx）=-

1-cos2x

4

-

3

4

sin2x=

1

2

sin（2x-

π

6

）-

1

4

，
∴當(dāng)2x-

π

6

=2kπ-

π

2

，即 x=kπ+

π

3

，k∈z時，h（x）取得最小值為-

3

4

．

點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式、正弦函數(shù)的增區(qū)間、函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想．