Question

【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）若，求曲線在處的切線方程;

（2）設(shè)函數(shù)若至少存在一個(gè),使得成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

(1)求導(dǎo)后代入求得在處的切線斜率,再利用點(diǎn)斜式求得切線方程即可.
(2)求導(dǎo)后分與時(shí),分析單調(diào)性再根據(jù)函數(shù)性質(zhì)的最值滿足的條件列式求不等式即可.

(1)當(dāng)時(shí),,

∴,即切線斜率為2,故由點(diǎn)斜式方程可得切線方程為,即

(2)原問(wèn)題等價(jià)于至少存在一個(gè),使得成立,

令,則,

①當(dāng)時(shí),,則函數(shù)h(x)在[1,e]上單調(diào)遞減,故h(x)min＝h(e)＝﹣2＜0,符合題意；

②當(dāng)時(shí),令,,解得,則函數(shù)h(x)在上單調(diào)遞減,令,解得,則函數(shù)h(x)在單調(diào)遞增,

且,,

1.當(dāng),即時(shí),在上,單調(diào)遞增,

此時(shí)不符合題意

2.當(dāng),即時(shí), 在上,單調(diào)遞減,

此時(shí)滿足題意

3.當(dāng),即時(shí),,不滿足題意

綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍為．