解:(1)依題意得F
2(1,0),所以c=1,又過點(0,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
),
因此a
2=b
2+c
2=4.
故所求的橢圓C
1的方程為:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/2913.png)
,
2)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/12694.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/12695.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/12696.png)
-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/12697.png)
,
∵
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/12698.png)
∈[1,3],∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/12699.png)
的最大值為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/12700.png)
,
(3)由(1)知F
1(-1,0)以MN為直徑的圓過F
1?
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/12701.png)
,
①若直線l斜率不存在.易知N(1,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/33.png)
),M(1,-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/33.png)
)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/12702.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/12703.png)
合題意,
若直線l斜率k存在,可設(shè)直線為y=k(x-1),M(x
1,y
1),N(x
2,y
2)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/12704.png)
=(x
1+1,y
1)•(x
2+1,y
2)=(x
1+1)(x
2+1)+y
1y
2,
=(1+k
2)x
1x
2+(1-k
2)(x
1+x
2)+1+k
2 (*)
由
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/12705.png)
,知(3+4k
2)x
2-8k
2x+4k
2-12=0,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/12706.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/12707.png)
,代入(*),
得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/12704.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/12708.png)
,
由
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/12709.png)
,得k=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/12710.png)
,
所以存在滿足條件的直線,方程為:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/12711.png)
.
分析:(1)依題意得c=1,a
2=b
2+c
2=4.由此可求出橢圓C
1的方程.
2)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/12694.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/12696.png)
-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/12697.png)
,由此可求出
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/12699.png)
的最大值.
(3)由題意知F
1(-1,0)以MN為直徑的圓過F
1?
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/12701.png)
,設(shè)直線為y=k(x-1),M(x
1,y
1),N(x
2,y
2),
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/12704.png)
=(x
1+1,y
1)•(x
2+1,y
2)=(x
1+1)(x
2+1)+y
1y
2=(1+k
2)x
1x
2+(1-k
2)(x
1+x
2)+1+k
2,由
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/12705.png)
,知(3+4k
2)x
2-8k
2x+4k
2-12=0,再由根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解.
點評:本題考查圓錐曲線的性質(zhì)和綜合應(yīng)用,難度較大,解題時要注意挖掘隱含條件,認(rèn)真審題,利用根與系數(shù)的關(guān)系,仔細(xì)解答.