Question

已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋)(ω＞0，0≤≤π)是R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)M對稱，且在區(qū)間[0，]上是單調(diào)函數(shù)，求ω和的值．

Answer 1

答案：
解析：

[解]由f(x)是偶函數(shù)，得f(－x)＝f(x)． 　　即sin(－ωx＋)＝sin(ωx＋)， 　　∴－cossinωx＝cossinωx對任意x都成立，且ω＞0，所以得cos＝0． 　　依題設(shè)0≤≤π，所以得＝． 　　由f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)M對稱，得取得得x＝0，得＝， 　　∴＝0． 　　∵＝＝，∴＝0． 　　又ω＞0，得＝＋kπ，k＝0，1，2，…ω＝(2k＋1)，k＝0，1，2，… 　　當(dāng)k＝0時(shí)，ω＝，f(x)＝在[0，]上是減函數(shù)； 　　當(dāng)k＝1時(shí)，ω＝2，f(x)＝在[0，]上是減函數(shù)； 　　當(dāng)k≥2時(shí)，ω≥，f(x)＝在[0，]上不是單調(diào)函數(shù)． 　　所以，綜合得：ω＝或ω＝2． 　　[分析]抓住函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，且有f(－x)＝f(x)，又圖象關(guān)于點(diǎn)M對稱，則有，這兩點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵． 　　[評析]本小題考查三角函數(shù)的圖象和單調(diào)性、奇偶性等基本知識，以及分析問題和推理計(jì)算能力．解答本題的關(guān)鍵是得到＝＝式后，立即聯(lián)想到點(diǎn)M的坐標(biāo)(，0)，自然＝0，最后，對求出的ω分類討論，驗(yàn)證是否滿足題意．