Question

已知f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的圖象與x軸的交點(diǎn)中，相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為

π

2

．若M（

2π

3

，-2）為圖象上一個(gè)最低點(diǎn)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)y=f（x）圖象的對(duì)稱軸方程和對(duì)稱中心坐標(biāo)；
（3）已知x∈（0，

π

2

）求函數(shù)y=f（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由題意求得周期，由周期公式求得ω，結(jié)合M（

2π

3

，-2）為圖象上一個(gè)最低點(diǎn)求得A和φ；
（2）直接由相位的終邊在y軸及x軸上求函數(shù)y=f（x）圖象的對(duì)稱軸方程和對(duì)稱中心坐標(biāo)；
（3）由x的范圍求得相位的范圍，進(jìn)一步求得函數(shù)的值域．

解答： 解：（1）由題意知

T

2

=

π

2

，∴T=π，
即

2π

ω

=π，故ω=2，
又A=2且2sin(2×

2π

3

+φ)=-2，
φ=

π

6

+2kπ，k∈Z，
∵0＜φ＜

π

2

，
∴φ=

π

6

，
∴函數(shù)解析式是f(x)=2sin(2x+

π

6

)；
（2）令2x+

π

6

=

π

2

+kπ，得x=

π

6

+

kπ

2

，k∈Z，
即函數(shù)y=f（x）圖象的對(duì)稱軸方程為x=

π

6

+

kπ

2

，k∈Z；
令2x+

π

6

=π+kπ，得x=

5π

12

+

kπ

2

，k∈Z，
∴函數(shù)y=f（x）圖象的對(duì)稱中心坐標(biāo)為（

5π

12

+

kπ

2

，0），k∈Z；
（3）∵x∈(0，

π

2

)，
∴2x+

π

6

∈(

π

6

，

7π

6

)，
∴sin(2x+

π

6

)∈(-

1

2

，1]，
∴函數(shù)的值域?yàn)椋?1，2]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)圖象的求法，考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，訓(xùn)練了函數(shù)值域的求法，是中檔題．