已知定義在實數(shù)集上的函數(shù)y=f（x）滿足條件：對任意的x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求f（0）的值，
（2）求證：f（x）是奇函數(shù)，
（3）舉出一個符合條件的函數(shù)y=f（x）．
分析：（1）由題意令x=0、y=0代入f（x+y）=f（x）+f（y），求出f（0）的值；
（2）令y=-x代入f（x+y）=f（x）+f（y），再由（1）和奇函數(shù)的定義判斷即可；
（3）根據(jù)（1）和（2）進行舉例即可，從最簡單的函數(shù)中舉．
解答：解：（1）∵對任意的x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y）．
∴令x=0、y=0，有f（0+0）=f（0）+f（0）…（1分）
∴f（0）=0…（2分）
（2）∵對任意的x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y）
令y=-x，有f（x-x）=f（x）+f（-x）…（4分）
∴f（0）=f（x）+f（-x）
∴f（-x）=-f（x），x∈R…（5分）
∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．…（6分）
（3）符合條件的函數(shù)f（x）=2x（答案不止一個只要符合要求都算正確）…（8分）
點評：本題考查了抽象函數(shù)的奇偶性的證明以及求值，主要利用賦值法，即根據(jù)結論給變量適當?shù)闹担牒愠闪⒌姆匠袒喖纯桑?/div>
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

18、已知定義在實數(shù)集上的函數(shù)y=f（x）滿足條件：對于任意的實數(shù)x，y，f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0時，f（x）＞0，f（1）=2，
（1）求f（0）；f（2）；
（2）證明：f（x）是奇函數(shù)；
（3）證明：f（x）是增函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義在實數(shù)集上的函數(shù)fn(x)=xn，（x∈N*），其導函數(shù)記為fn′（x），且滿足fn′[ax1+(1-a)x2]  =
f2(x2)-f2(x1) x2-x1
，其中a，x1，x2為常數(shù)，x1≠x2．設函數(shù)g（x）=f1（x）+mf2（x）-lnf3（x），（m∈R且m≠0）．
（Ⅰ）求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）無極值點，其導函數(shù)g′（x）有零點，求m的值；
（Ⅲ）求函數(shù)g（x）在x∈[0，a]的圖象上任一點處的切線斜率k的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義在實數(shù)集上的函數(shù)f（x）滿足xf（x）為偶函數(shù)，f（x+2）=-f（x），（x∈R） 且當1≤x≤3時，f（x）=（2-x）3．
（1）求-1≤x≤0時，函數(shù)f（x）的解析式．
（2）求f（2008）、f（2008.5）的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義在實數(shù)集上的偶函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)，那么y1=f(
π
3
)，y2=f(3x2+1)和y3=f(log2
1
4
)之間的大小關系為（　　）

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