Question

已知圓C：x²+y²+2x-4y+3=0．
（1）若圓C的切線在x軸和y軸上的截距相等，求此切線的方程；
（2）從圓C外一點P（x₁，y₁）向該圓引一條切線，切點為M，O為坐標原點，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的點P的坐標．

Answer 1

（1）∵切線在兩坐標軸上的截距相等，
∴當截距不為零時，設切線方程為x+y=a，
又∵圓C：（x+1）²+（y-2）²=2，
∴圓心C（-1，2）到切線的距離等于圓的半徑

2

，
即

|-1+2-a|

2

=

2

，
解得：a=-1或a=3，
當截距為零時，設y=kx，
同理可得k=2+

6

或k=2-

6

，
則所求切線的方程為x+y+1=0或x+y-3=0或y=(2+

6

)x或y=(2-

6

)x．

（2）∵切線PM與半徑CM垂直，
∴|PM|²=|PC|²-|CM|²．
∴（x₁+1）²+（y₁-2）²-2=x₁²+y₁²．
∴2x₁-4y₁+3=0．
∴動點P的軌跡是直線2x-4y+3=0．
∴|PM|的最小值就是|PO|的最小值．
而|PO|的最小值為原點O到直線2x-4y+3=0的距離d=

3 5

10

，
∴由

x 21 + y 21 = 9 20 2x1-4y1+3=0

，可得

x1=- 3 10 y1= 3 5 .

故所求點P的坐標為P(-

3

10

，

3

5

)．