Question

如圖，E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD各邊上的點(diǎn)，且有AE∶EB=AH∶HD=m,CF∶FB=CG∶GD=n.

(1)證明E、F、G、H四點(diǎn)共面.

(2)m、n滿足什么條件時(shí)，EFGH是平行四邊形?

(3)在(2)的條件下，若AC⊥BD，試證明EG=FH.

Answer 1

(1)證明:

∵AE∶EB=AH∶HD，∴EH∥BD.

∵CF∶FB=CG∶GD，

∴FG∥BD.∴EH∥FG.∴E、F、G、H四點(diǎn)共面.

(2)解:當(dāng)且僅當(dāng)EHFG時(shí)，四邊形EFGH為平行四邊形.

∵,∴EH=BD.

同理,FG=BD.由EH=FG得m=n.

故當(dāng)m=n時(shí)，四邊形EFGH為平行四邊形.

(3)證明:當(dāng)m=n時(shí)，AE∶EB=CF∶FB,∴EF∥AC.

又∵AC⊥BD，∴∠FEH是AC與BD所成的角.∴∠FEH=90°.

從而EFGH為矩形，∴EG=FH.

點(diǎn)評(píng):空間四邊形是立體幾何的一個(gè)基本圖形，它各邊中點(diǎn)的連線構(gòu)成平行四邊形；當(dāng)兩對(duì)角線相等時(shí)該平行四邊形為菱形；當(dāng)兩對(duì)角線互相垂直時(shí)，該平行四邊形為矩形；當(dāng)兩對(duì)角線相等且互相垂直時(shí),該平行四邊形為正方形.