如圖，已知拋物線C：y2=2px（p＞0）的準(zhǔn)線與x軸交于M點，過M點斜率為k的直線l與拋物線C交于A、B兩點．
（Ⅰ）F為拋物線C的焦點，若|AM|=
5
4
|AF|，求k的值；
（Ⅱ）是否存在這樣的k，使得對任意的p，拋物線上C總存在點Q，使得QA⊥QB，若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由．
精英家教網(wǎng)
解（Ⅰ）記A點到準(zhǔn)線距離為d，直線l的傾斜角為α，由拋物線的定義知|AM|=
5
4
d，
∴cosα=
d
|AM|
=
4
5
，則sinα=
1-cos2α
=
1-(
4
5
)2
=
3
5
，
∴k=±tanα=±
sinα
cosα
=±
3
5
4
5
=±
3
4
．
（Ⅱ）存在k，k的取值范圍為[-
5
5
，0)∪(0，
5
5
]，使得對任意的p，拋物線上C總存在點Q，使得QA⊥QB．
事實上，假設(shè)存在這樣的k，使得對任意的p，拋物線上C總存在點Q，使得QA⊥QB，
設(shè)點Q（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），
聯(lián)立
y2=2px
y=k(x+
p
2
)
，得ky2-2py+p2k=0．
則
k≠0
4p2-4k2p2＞0
，得：-1＜k＜1且k≠0．
y1+y2=
2p
k
，y1y2=p2．
又Q、A、B三點在拋物線上，所以x0=
y02
2p
，x1=
y12
2p
，x2=
y22
2p

則kQA=
y0-y1
x0-x1
=
y0-y1
y02
2p
-
y12
2p
=
2p
y0+y1
．
同理kQB=
2p
y0+y2
．
由QA⊥QB得：
2p
y0+y1
•
2p
y0+y2
=-1，即y02+y0(y1+y2)+y1y2=-4p2．
∴y02+
2p
k
+p2=-4p2，即ky02+2py0+5kp2=0．
△=4p2-20k2p2≥0，解得-
5
5
≤k≤
5
5
，又-1＜k＜1且k≠0．
所以k的取值范圍為[-
5
5
，0)∪(0，
5
5
]．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點為F，A是拋物線上橫坐標(biāo)為4且位于x軸上方的點． A到拋物線準(zhǔn)線的距離等于5，過A作AB垂直于y軸，垂足為B，OB的中點為M（O為坐標(biāo)原點）．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）過M作MN⊥FA，垂足為N，求點N的坐標(biāo)；
（Ⅲ）以M為圓心，4為半徑作圓M，點P（m，0）是x軸上的一個動點，試討論直線AP與圓M的位置關(guān)系．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知拋物線C：x2=2py（p＞0）與圓O：x2+y2=8相交于A、B兩點，且
OA
•
OB
=0（O為坐標(biāo)原點），直線l與圓O相切，切點在劣弧AB（含A、B兩點）上，且與拋物線C相交于M、N兩點，d是M、N兩點到拋物線C的焦點的距離之和．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）求d的最大值，并求d取得最大值時直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•武昌區(qū)模擬）如圖，已知拋物線C：y2=4x，過點A（1，2）作拋物線C的弦AP，AQ．
（Ⅰ）若AP⊥AQ，證明直線PQ過定點，并求出定點的坐標(biāo)；
（Ⅱ）假設(shè)直線PQ過點T（5，-2），請問是否存在以PQ為底邊的等腰三角形APQ？若存在，求出△APQ的個數(shù)？如果不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•徐州一模）如圖，已知拋物線C：y2=4x的焦點為F，過F的直線l與拋物線C交于A（x1，y1）（y1＞0），B（x2，y2）兩點，T為拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點．
（1）若
TA
•
TB
=1，求直線l的斜率；
（2）求∠ATF的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知拋物線C：y2=4x焦點為F，直線l經(jīng)過點F且與拋物線C相交于A、B兩點．
（Ⅰ）若線段AB的中點在直線y=2上，求直線l的方程；
（Ⅱ）若|AB|=20，求直線l的方程．

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