Question

（2009•寧波模擬）已直方程tan2x-

4 3

3

tanx+1=0在x∈[0，nπ），（n∈N^*）內(nèi)所有根的和記為a_n
（1）寫出a_n的表達(dá)式：（不要求嚴(yán)格的證明）  
（2）求S_n=a₁+a₂+…+a_n；
（3）設(shè)b_n=（kn-5）π，若對任何n∈N^*都有a_n≥b_n，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）通過方程的解，利用n=1，2，求出a₁，a₂，類比寫出a_n的表達(dá)式．（不要求嚴(yán)格的證明）  
（2）利用拆項(xiàng)法直接通過公式法與等差數(shù)列求和，求S_n=a₁+a₂+…+a_n的值．
（3）設(shè)b_n=（kn-5）π，推出a_n≥b_n的表達(dá)式，利用分離變量，通過基本不等式判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，即可求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答：解：（1）解方程得tanx=

3

或

3

3

（1分）
∴當(dāng)n=1時(shí)，x=

π

3

或

π

6

，此時(shí)a1=

π

2

（2分）
當(dāng)n=2時(shí)，x=

π

6

，

π

3

，

π

6

+π，

π

3

+π，
∴a2=

π

2

+(

π

2

+2π)（3分）
依此類推：an=

π

2

+(

π

2

+2π)+…+[

π

2

+2(n-1)π]
∴an=(n2-

n

2

)π（5分）
（2）Sn=(12+22+…+n2)π-

π

2

(1+2+…+n)
=

n(n+1)(2n+1)

6

π-

n(n+1)

4

π=

n(n+1)(4n-1)

12

π（9分）
（3）由a_n≥b_n得(n2-

n

2

)π≥(kn-5)π
∴kn≤n2-

n

2

+5
∵n∈N^*∴k≤n+

5

n

-

1

2

（11分）
設(shè)f(n)=n+

5

n

-

1

2

易證f（n）在(0，

5

)上單調(diào)遞減，在（

5

，+∞）上單調(diào)遞增．    （13分）
∵n∈N^*f(2)=4，f(3)=

25

6

∴n=2，f（n）_min=4
∴k≤4（15分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式的猜想，數(shù)列求和的基本方法，恒成立問題的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，分析問題解決問題的能力．