Question

設(shè)函數(shù)f（x）=，g（x）=x³-x²-3．
（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（Ⅱ）如果存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立，求滿足上述條件的最大整數(shù)M；
（Ⅲ）如果對(duì)任意的s，t，都有f（s）≥g（t）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）如果存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立，等價(jià)于：[g（x₁）-g（x₂）]_max≥M，求出函數(shù)的最值，即可求滿足條件的最大整數(shù)M；
（Ⅲ）當(dāng)x時(shí)，恒成立，等價(jià)于a≥x-x²lnx恒成立，求右邊的最值，即可得到結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ），，…（1分）
①a≤0，h'（x）≥0，函數(shù)h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增…（2分）
②a＞0，，函數(shù)h（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為，，函數(shù)h（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為…（4分）
（Ⅱ）存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立，等價(jià)于：[g（x₁）-g（x₂）]_max≥M，…（5分）
考察g（x）=x³-x²-3，，…（6分）

x					2
g′（x）		-		+
g（x）	-3	遞減	極（最）小值	遞增	1

…（8分）
由上表可知：，
∴[g（x₁）-g（x₂）]_max=g（x）_max-g（x）_min=，…（9分）
所以滿足條件的最大整數(shù)M=4；…（10分）
（Ⅲ）當(dāng)x時(shí)，恒成立，等價(jià)于a≥x-x²lnx恒成立，…（11分）
記h（x）=x-x²lnx，所以a≥h_max（x）
又h′（x）=1-2xlnx-x，則h′（1）=0．
記h'（x）=（1-x）-2lnx，，1-x＞0，xlnx＜0，h'（x）＞0
即函數(shù)h（x）=x-x²lnx在區(qū)間上遞增，
記h'（x）=（1-x）-2lnx，x∈（1，2]，1-x＜0，xlnx＞0，h'（x）＜0
即函數(shù)h（x）=x-x²lnx在區(qū)間（1，2]上遞減，
∴x=1，h（x）取到極大值也是最大值h（1）=1…（13分）
∴a≥1…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．