Question

某人向一目標(biāo)射擊4次，每次擊中目標(biāo)的概率為

1

3

．該目標(biāo)分為3個(gè)不同的部分，第一、二、三部分面積之比為1：3：6．擊中目標(biāo)時(shí)，擊中任何一部分的概率與其面積成正比．
（Ⅰ）設(shè)X表示目標(biāo)被擊中的次數(shù)，求X的分布列；
（Ⅱ）若目標(biāo)被擊中2次，A表示事件“第一部分至少被擊中1次或第二部分被擊中2次”，求P（A）．

Answer 1

分析：（1）由題意知目標(biāo)被擊中的次數(shù)X的取值是0、1、2、3、4，當(dāng)X=0時(shí)表示四次射擊都沒(méi)有擊中，當(dāng)X=1時(shí)表示四次射擊擊中一次，以此類推，理解變量取值不同時(shí)對(duì)應(yīng)的事件，用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式得到概率，寫出分布列
（2）第一部分至少被擊中1次或第二部分被擊中2次所表示的事件，記出事件，根據(jù)事件之間的互斥關(guān)系，表示出事件，用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生和互斥事件的概率公式，得到結(jié)果．

解答：解：（Ⅰ）由題意知目標(biāo)被擊中的次數(shù)X的取值是0、1、2、3、4，
∵當(dāng)X=0時(shí)表示四次射擊都沒(méi)有擊中，
∴P（X=0）=

C

0 4

(1-

1

3

)4=

16

81

，
∵當(dāng)X=1時(shí)表示四次射擊擊中一次，
P（X=1）=

C

1 4

 ×

1

3

×(

2

3

)3=

32

81

，
∵當(dāng)X=2時(shí)表示四次射擊擊中兩次，
∴P（X=2）=

C

2 4

(

1

3

)2(

2

3

)2=

24

81

同理用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式得到X=3和X=4的概率，
∴X的分列為

（Ⅱ）設(shè)A₁表示事件“第一次擊中目標(biāo)時(shí)，擊中第i部分”，i=1，2．
B₁表示事件“第二次擊中目標(biāo)時(shí)，擊中第i部分”，i=1，2．
依題意知P（A₁）=P（B₁）=0.1，
P（A₂）=P（B₂）=0.3，
A=A1

.

B1

∪

.

A1

B1∪A1B1∪A2B2，
所求的概率為P(A)=P(A1

.

B1

)+P(

.

A1

B1)+P(A1B1)+P(A2B2)P(A1

.

B1

)+P(

.

A1

)P(B1)+P(A1)P(B1)+P(A2)P(B2)=
0.1×0.9+0.9×0.1+0.1×0.1+0.3×0.3=0.28

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量和相互獨(dú)立事件的概率以及互斥事件的概率，解決離散型隨機(jī)變量分布列問(wèn)題時(shí)，主要依據(jù)概率的有關(guān)概念和運(yùn)算，同時(shí)還要注意題目中離散型隨機(jī)變量服從什么分布．