Question

數(shù)列{a_n}的通項a_n=n²（cos²

nπ

3

-sin²

nπ

3

），其前n項和為S_n，則S₃₀為

470

．

Answer 1

分析：利用二倍角公式對已知化簡可得，a_n=n²（cos²

nπ

3

-sin²

nπ

3

）=n²cos

2nπ

3

，然后代入到求和公式中可得，S30=12•cos

2π

3

+22cos

4π

3

+3²cos2π+…+30²cos20π，求出 特殊角的三角函數(shù)值之后，利用平方差公式分組求和即可求解

解答：解：∵a_n=n²（cos²

nπ

3

-sin²

nπ

3

）=n²cos

2nπ

3

∴S30=12•cos

2π

3

+22cos

4π

3

+3²cos2π+…+30²cos20π
=-

1

2

×1-

1

2

×22+32-

1

2

×42-

1

2

×52+62+…-

1

2

×282-

1

2

×292+302
=-

1

2

[1+2²-2×3²）+（4²+5²-6²×2）+…+（28²+29²-30²×2）]
=-

1

2

[（1²-3³）+（4²-6²）+…+（28²-30²）+（2²-3²）+（5²-6²）+…+（29²-30²）]
=-

1

2

[-2（4+10+16…+58）-（5+11+17+…+59）]
=-

1

2

[-2×

4+58

2

×10-

5+59

2

×10]
=470
故答案為：470

點評：本題主要考查了二倍角的余弦公式、分組求和方法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是平方差公式的應(yīng)用