Question

已知定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞）的函數(shù)y=f（x）滿足條件：對于定義域內(nèi)任意x₁，x₂都有f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂）．
（1）求證：，且f（x）是偶函數(shù)；
（2）請寫出一個(gè)滿足上述條件的函數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)抽象函數(shù)“湊”的原則，結(jié)合f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），分別令x₁=x₂=1，x₁=-1，x₂=1，
即可求得f（1）、f（-1）的值，進(jìn)而求得結(jié)果；根據(jù)f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），令x₁=-1，易判斷出f（-x₂）與f（x₂）的關(guān)系，再根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，即可得到答案．
（2）根據(jù)（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂）和已經(jīng)學(xué)過的知識可知對數(shù)函數(shù)滿足條件，另由函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞），舉出一個(gè)函數(shù)即可．
解答：解：（1）證明：令x₁=x₂=1
∵f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）
∴f（1）=2f（1）
∴f（1）=0，
∴，
∴
令x₁=-1，x₂=1
f（-1）=f（-1）+f（-1）=2f（-1），
∴f（-1）=0；
令x₁=-1
∵f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）
∴f（x₁•x₂）=f（-x₂）=f（-1）+f（x₂）
又∵f（-1）=0
∴f（-x₂）=f（x₂）
故f（x）是偶函數(shù)；
（2）根據(jù)根據(jù)（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂）以及函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞），
可知f（x）=log₂|x|．
點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)奇偶性的判斷，函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明及抽象函數(shù)值，其中熟練掌握函數(shù)性質(zhì)的定義及判斷方法是解答本題的關(guān)鍵，屬中檔題．