Question

已知函數(shù)，，其中．
(1)若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；
(2)若對(duì)任意的（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）都有≥成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

(1) (2)

試題分析：(1)先求導(dǎo)，根據(jù)題意 (2)可將問題轉(zhuǎn)化為≥，分別求導(dǎo)令導(dǎo)數(shù)大于0、小于0得單調(diào)性，用單調(diào)性求最值。在解導(dǎo)數(shù)大于0或小于0的過程中注意對(duì)的討論。
試題解析：(1)解法1：∵，其定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824042309594563.png" style="vertical-align:middle;" />，
∴．  ∵是函數(shù)的極值點(diǎn)，∴，即．
∵，∴．  經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)，是函數(shù)的極值點(diǎn)，∴．、
解法2：∵，其定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824042309796560.png" style="vertical-align:middle;" />，
∴．  令，即，整理，得．
∵，
∴的兩個(gè)實(shí)根（舍去），，
當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：

依題意，，即，∵，∴．
(2)對(duì)任意的都有≥成立等價(jià)于對(duì)任意的都有≥．當(dāng)［1，］時(shí)，．
∴函數(shù)在上是增函數(shù)．∴．
∵，且，．
①當(dāng)且［1，］時(shí)，，
∴函數(shù)在［1，］上是增函數(shù)，
∴.由≥，得≥，又，∴不合題意．
②當(dāng)1≤≤時(shí)，
若1≤＜，則，若＜≤，則．
∴函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．
∴.
由≥，得≥，又1≤≤，∴≤≤．
③當(dāng)且［1，］時(shí)，，
∴函數(shù)在上是減函數(shù)．
∴.由≥，得≥，
又，∴．
綜上所述，的取值范圍為．