Question

用總長14.8m的鋼條制作一個長方體容器的框架，如果容器底面的長比寬多0.5m，那么長和寬分別為多少時容器的容積最大？并求出它的最大容積．

Answer 1

分析：將容器容積表示成底面短邊長x的函數(shù)關系，然后利用導數(shù)求此函數(shù)的最值，注意如何選擇自變量．

解答：解：設容器底面短邊長為x m，
則另一邊長為（x+0.5）m，高為3.2-2x．
由3.2-2x＞0和x＞0，
得0＜x＜1.6，
設容器的容積為ym³，
則有y=x（x+0.5）（3.2-2x），（0＜x＜1.6）．
整理，得y=-2x³+2.2x²+1.6x，
∴y′=-6x²+4.4x+1.6．--6分
令 y′=0，有x=1．
從而在定義域（0，1.6）內(nèi)只有在x=1 處使y取最大值，
這時，長x+0.5=1.5m，寬x=1m，高3.2-2x=1.2．
它的最大容積y_max=1.5×1×1.2=1.8m³．
答：長1.5m，寬1m時容器的容積最大，它的最大容積是1.8m³．

點評：本小題主要考查應用所學導數(shù)的知識、思想和方法解決實際問題的能力，建立函數(shù)式、解方程、不等式、最大值等基礎知識