Question

設(shè)x₁，x₂是f（x）=的兩個極值點，f（x）的導(dǎo)函數(shù)是y=f′（x）
（Ⅰ）如果x₁＜2＜x₂＜4，求證：f′（-2）＞3；
（Ⅱ）如果|x₁|＜2，|x₂-x₁|=2，求b的取值范圍；
（Ⅲ）如果a≥2，且x₂-x₁=2，x∈（x₁，x₂）時，函數(shù)g（x）=f′（x）+2（x-x₂）的最小值為h（a），求h（a）的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）對f（x）進行求導(dǎo)，可知x₁，x₂ 是方程f′（x）=0的兩個根，根據(jù)其單調(diào)區(qū)間可以得出f′（2）＜0，f′（4）＞0，推出4a-2b＞0，整體法代入f′（-2）進行證明；
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）可根據(jù)韋達定理求出x₁+x₂和x₁x₂，根據(jù)已知|x₂-x₁|可以用x₁+x₂和x₁x₂，表示出來，從而求出b的范圍；
（Ⅲ）根據(jù)f′（x）=0的兩個根是x₁，x₂，可設(shè)f′（x）=a（x-x₁）（x-x₂），再利用不等式進行放縮和利用導(dǎo)數(shù)進行求解；
解答：解：（I）證明：f′（x）=ax²+（b-1）x+1，x₁，x₂ 是方程f′（x）=0的兩個根，
f（x）在（x₂，+∞）上單調(diào)增，其導(dǎo)函數(shù)大于0，f（x）在（x₁，x₂）上單調(diào)遞減，其導(dǎo)函數(shù)小于0，
由x₁＜2＜x₂＜4且a＞0
得可得        （2分）
①×（-3）+②得4a-2b＞0，
∴f′（-2）=4a-2（b-1）+1=4a-2b+3＞3；
（Ⅱ）解：由第（1）問知由x₁x₂≠0，兩式相除得
-（b-1）==+ 即b=--+1     （4分）
①當(dāng)0＜x₁＜2時，由x₁x₂=＞0，
∴x₂-x₁=2 即x₂=x₁+2
∴b=--+1，x₁∈（0，2）（5分）
令函數(shù)φ（x）=--+1（x＞0），則φ′（x）=+，
∴φ（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
∴當(dāng)x₁∈（0，2）時，b=φ（x₁）＜φ（2）=--+1=，即b＜  （7分）
②當(dāng)-2＜x₁＜0時，x₂＜0，∴x₁-x₂=2 即x₂=x₁-2
∴b=-+1，x₁∈（-2，0）
令函數(shù)ω（x）=--+1（x＜0）則同理可證ω（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)
∴當(dāng)x₁∈（-2，0）時，b=ω（x₁）＞ω（-2）=，
綜①②所述，b的取值范圍是（-∞，）∪（，+∞）；
（Ⅲ）解：f′（x）=0的兩個根是x₁，x₂，
∴可設(shè)f′（x）=a（x-x₁）（x-x₂）
∴g（x）=a（x-x₁）（x-x₂）+2（x-x₂）=a（x-x₂）（x-x₁+） （10分）
又x∈（x₁，x₂） 又a≥2，
∴x-x₁+＞0
∴|g（x）|=|a（x-x₂）（x-x₁+）|=a（x₂-x）（x-x₁+）
≤a=a（1+）²=a（1+）²=a++2，g（x）≥-（a++2）
當(dāng)且僅當(dāng)x₂-x₁=x-x₁+即x=即x=時取等號
∴h（a）=-（a++2），（a≥2）
當(dāng)a≥2時，h′（a）=-（1-）＜0
∴h（a）在（2，+∞）上是減函數(shù)． 
∴h（a）=h（2）=-；
點評：主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等基礎(chǔ)知識，考查運算能力及用函數(shù)思想分析解決問題的能力．