Question

已知圓心為O，半徑為1，弧度數(shù)為π的圓弧

AB

上有兩點P，C，其中

BC

=

AC

（如圖）．
（1）若P為圓弧

BC

的中點，E在線段OA上運動，求|

OP

+

OE

|的最小值；
（2）若E，F(xiàn)分別為線段OA，OC的中點，當P在圓弧

AB

上運動時，求

PE

•

PF

的最大值．

Answer 1

分析：（1）由題意可得C為

AB

 的中點，設(shè)OE=x（0≤x≤1），計算|

OP

+

OE

|2=(x-

2

2

)2+

1

2

，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得它的最小值．
（2）以O(shè)為原點，BA所在的直線為x軸，建立平面直角坐標系，求出E、F的坐標，設(shè)P（x，y），則x²+y²=1（y≥0），計算 

PE

•

PF

=(

1

2

-x，-y)•(-x，

1

2

-y)=1-

1

2

(x+y)，可得當x+y取得最小值時，

PE

•

PF

取得最大值，計算求得結(jié)果．

解答：解：（1）由題意

BC

=

AC

 可得 C為

AB

 的中點，設(shè)OE=x（0≤x≤1），
則 |

OP

+

OE

|2= 

OP

2+2

OP

•

OE

+

OE

 2= 1+2×1×x×cos

3π

4

+x2=(x-

2

2

)2+

1

2

，
所以當x=

2

2

時，|

OP

+

OE

|的最小值為

2

2

．
（2）以O(shè)為原點，BA所在的直線為x軸，建立平面直角坐標系，則E(

1

2

，0)，F(0，

1

2

)，
設(shè)P（x，y），則x²+y²=1（y≥0），
∴

PE

•

PF

=(

1

2

-x，-y)•(-x，

1

2

-y)=1-

1

2

(x+y)，
故當x=-1 且y=0時，x+y取得最小值為-1，所以，

PE

•

PF

的最大值是 1-（-

1

2

）=

3

2

．

點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義，數(shù)量的坐標形式的運算，二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題．