Question

已知函數(shù)f（x）=（a+1）lnx+ax²+1．
（1）當(dāng)a=-

1

3

時(shí)，求f（x）的最大值；
（2）a≤-2時(shí)，判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）若a≤-2，證明對(duì)任意x₁，x₂∈（0，+∞），均有|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=-

1

3

時(shí)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用最值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，即可求f（x）的最大值；
（2）a≤-2時(shí)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)即可判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）若a≤-2，根據(jù)函數(shù)f（x）的單調(diào)性，將不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，即可證明不等式．

解答： 解：（1）f(x)=

2

3

lnx-

1

3

x2+1∴f′(x)=

2

3x

-

2x

3

=

-2(x+1)(x+1)

3x

當(dāng)x∈（0，+∞）變化時(shí)，f（x），f'（x）變化情況如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f（x）	+	0	-
f'（x）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減

∴當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得極大值，也是最大值f(1)=

2

3

即f(x)max=

2

3

．
（2）f′(x)=

a+1

x

+2ax
∵x＞0，a+1＜0，2a＜0，
∴

a+1

x

+2ax＜0恒成立f（x）在（0，+∞）是減函數(shù)．
（3）∵f（x）在（0，+∞）單調(diào)減，∴不妨設(shè)x₁＞x₂＞0
則|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|?f（x₂）-f（x₁）≥4x₁-4x₂，
即f（x₂）+4x₂≥f（x₁）+4x₁
∴f（x）+4x在（0，+∞）單調(diào)減，
設(shè)g（x）=f（x）+4x=（a+1）lnx+ax²+4x+1（x＞0），
g′(x)=

a+1

x

+2ax+4=

2ax2+4x+a+1

x

，
∵a≤-2，
∴△=16-4×2a×（a+1）=-8（a²+a-2）=-8（a+2）（a-1）≤0，
∴g′(x)=

a+1

x

+2ax+4=

2ax2+4x+a+1

x

≤0恒成立．
∴g（x）為減函數(shù)，
∴|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|對(duì)?x∈（0，+∞）均成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，要求熟練掌握函數(shù)單調(diào)性，最值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，綜合性較強(qiáng)，難度較大．