Question

已知定義域為R的函數(shù)f(x)=

-2x+b

2x+1+a

是奇函數(shù)，
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）判斷并證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）若對于任意的t∈R，不等式f（mt²-2t）+f（1-t²）＜0恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（x）是R上的奇函數(shù)，得f（0）=0，且f（-1）=-f（1）；代入f（x）可得a、b的值；
（2）由f（x）的解析式，用單調(diào)性定義可以證明f（x）是定義域上的減函數(shù)；
（3）由f（mt²-2t）+f（1-t²）＜0，可得f（mt²-2t）＜-f（1-t²）；
由f（x）是奇函數(shù)，得-f（1-t²）=f（t²-1），從而得f（mt²-2t）＜f（t²-1）；
由f（x）是減函數(shù)，得mt²-2t＜t²-1恒成立，解得m的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）是R上的奇函數(shù)，∴f（0）=0，且f（-1）=-f（1）；
即

-1+b

2+a

=0，且

- 1 2 +b

1+a

=-

-2+b

4+a

；
解得a=2，b=1；
∴f（x）的解析式為f（x）=

-2x+1

2x+1+2

；
（2）∵f（x）=

-2x+1

2x+1+2

，
∴f（x）=-

2x-1

2(2x+1)

=

1

2x+1

-

1

2

是R上的減函數(shù)；
證明如下：在R上任取x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=（

1

2x1+1

-

1

2

）-（

1

2x2+1

-

1

2

）=

2x2-2x1

(2x1+1)(2x2+1)

；
∵x₁＜x₂，∴2x2-2x1＞0，2x1+1＞0，2x2+1＞0，
∴

2x2-2x1

(2x1+1)(2x2+1)

＞0；即f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）R上的減函數(shù)；
（3）∵f（mt²-2t）+f（1-t²）＜0恒成立，∴f（mt²-2t）＜-f（1-t²）；
∵f（x）是奇函數(shù)，∴-f（1-t²）=f（t²-1），∴f（mt²-2t）＜f（t²-1）；
∴f（mt²-2t）＜f（t²-1），
又∵f（x）是減函數(shù)，∴mt²-2t＞t²-1，
即（m-1）t²-2t+1＞0恒成立，
∴

m-1＞0 4-4(m-1)＜0

，解得m＞2；
∴m的取值范圍是{m|m＞2}．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的性質(zhì)和應(yīng)用，以及不等式恒成立問題，是中檔題．