Question

如圖，已知平面，四邊形是矩形，，，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求三棱錐的體積；

（Ⅱ）求證：平面；

（Ⅲ）若點(diǎn)為線段中點(diǎn)，求證：∥平面．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見(jiàn)解析；（Ⅲ）詳見(jiàn)解析

【解析】

試題分析：（Ⅰ）因?yàn)?/span>平面，所以為三棱錐的高。因?yàn)?/span>是矩形，所以可求底面的面積，根據(jù)錐體體積公式可求此三棱錐的體積。（Ⅱ）根據(jù)平面，四邊形是矩形，可證得平面，從而可得，再根據(jù)等腰三角形中線即為高線可得，根據(jù)線面垂直的判定定理可得平面。（Ⅲ）連結(jié)交于，可證得為中點(diǎn)，由中位線可證得∥，再由線面平行的判定定理可證得∥平面。

試題解析：（Ⅰ）解：因?yàn)?/span>平面，

所以為三棱錐的高． 2分

，

所以． 4分

（Ⅱ）證明：因?yàn)?/span>平面，平面，所以，

因?yàn)?/span>， 所以平面

因?yàn)?/span>平面， 所以． 6分

因?yàn)?/span>，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?/span>，

所以平面． 8分

（Ⅲ）證明：連結(jié)交于，連結(jié)，．

因?yàn)樗倪呅?/span>是矩形，所以，且，

又，分別為，的中點(diǎn)， 所以四邊形是平行四邊形，

所以為的中點(diǎn)，又因?yàn)?/span>是的中點(diǎn)，

所以∥， 13分

因?yàn)?/span>平面，平面，

所以∥平面. 14分

考點(diǎn)：1線線垂直、線面垂直；2線線平行、線面平行；3棱錐的體積。