Question

【題目】設b和c分別是先后拋擲一枚骰子得到的點數(shù)，用隨機變量ξ表示方程x2+bx+c=0實根的個數(shù)（重根按一個計）．
（1）求方程x2+bx+c=0有實根的概率；
（2）（理）求ξ的分布列和數(shù)學期望 （文）求P（ξ=1）的值
（3）（理）求在先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5的條件下，方程x2+bx+c=0有實根的概率．

Answer 1

【答案】
（1）解：基本事件總數(shù)為6×6=36，

若使方程有實根，則△=b2﹣4c≥0，即 ．

當c=1時，b=2，3，4，5，6；

當c=2時，b=3，4，5，6；

當c=3時，b=4，5，6；

當c=4時，b=4，5，6；

當c=5時，b=5，6；

當c=6時，b=5，6，

目標事件個數(shù)為5+4+3+3+2+2=19，

因此方程x2+bx+c=0有實根的概率為

（2）解：（理）由題意知，ξ=0，1，2，則 ， ， ，

故ξ的分布列為

	0	1	2
P

ξ的數(shù)學期望 ．

（文）

（3）解：記“先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5”為事件M，“方程ax2+bx+c=0有實根”為事件N，

則 ， ，

【解析】（1）根據(jù)題意可得基本事件總數(shù)為6×6=36，若使方程有實根，則△=b2﹣4c≥0，即 ，再利用列舉的方法求出目標事件個數(shù)，進而得到答案．（2）（理）由（1）可得ξ=0，1，2，則 ， ， ，進而得到分布列與數(shù)學期望．（文）由（1）可得ξ=1及方程只有一個根情況所包含的基本時間數(shù)，進而求出其發(fā)生的概率．（3）計算出“先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5”的概率與“先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5并且方程x2+bx+c=0有實根”的概率，進而利用條件概率的公式可得答案．
【考點精析】關于本題考查的離散型隨機變量及其分布列，需要了解在射擊、產(chǎn)品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列才能得出正確答案．