Question

【題目】設(shè)b和c分別是先后拋擲一枚骰子得到的點(diǎn)數(shù)，用隨機(jī)變量ξ表示方程x2+bx+c=0實(shí)根的個(gè)數(shù)（重根按一個(gè)計(jì)）．
（1）求方程x2+bx+c=0有實(shí)根的概率；
（2）（理）求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望 （文）求P（ξ=1）的值
（3）（理）求在先后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)中有5的條件下，方程x2+bx+c=0有實(shí)根的概率．

Answer 1

【答案】
（1）解：基本事件總數(shù)為6×6=36，

若使方程有實(shí)根，則△=b2﹣4c≥0，即 ．

當(dāng)c=1時(shí)，b=2，3，4，5，6；

當(dāng)c=2時(shí)，b=3，4，5，6；

當(dāng)c=3時(shí)，b=4，5，6；

當(dāng)c=4時(shí)，b=4，5，6；

當(dāng)c=5時(shí)，b=5，6；

當(dāng)c=6時(shí)，b=5，6，

目標(biāo)事件個(gè)數(shù)為5+4+3+3+2+2=19，

因此方程x2+bx+c=0有實(shí)根的概率為

（2）解：（理）由題意知，ξ=0，1，2，則 ， ， ，

故ξ的分布列為

	0	1	2
P

ξ的數(shù)學(xué)期望 ．

（文）

（3）解：記“先后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)中有5”為事件M，“方程ax2+bx+c=0有實(shí)根”為事件N，

則 ， ，

【解析】（1）根據(jù)題意可得基本事件總數(shù)為6×6=36，若使方程有實(shí)根，則△=b2﹣4c≥0，即 ，再利用列舉的方法求出目標(biāo)事件個(gè)數(shù)，進(jìn)而得到答案．（2）（理）由（1）可得ξ=0，1，2，則 ， ， ，進(jìn)而得到分布列與數(shù)學(xué)期望．（文）由（1）可得ξ=1及方程只有一個(gè)根情況所包含的基本時(shí)間數(shù)，進(jìn)而求出其發(fā)生的概率．（3）計(jì)算出“先后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)中有5”的概率與“先后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)中有5并且方程x2+bx+c=0有實(shí)根”的概率，進(jìn)而利用條件概率的公式可得答案．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的離散型隨機(jī)變量及其分布列，需要了解在射擊、產(chǎn)品檢驗(yàn)等例子中，對(duì)于隨機(jī)變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．離散型隨機(jī)變量的分布列：一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個(gè)值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱(chēng)表為離散型隨機(jī)變量X 的概率分布，簡(jiǎn)稱(chēng)分布列才能得出正確答案．