Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，PB⊥平面ABC，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，AB=BC=2，∠PAB=45°，點(diǎn)D、E、F分別為AC、AB、BC的中點(diǎn)．
（I）求證：EF⊥PD；
（Ⅱ）求三棱錐D-PEF的體積．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）連接BD，由題意可證明BD⊥AC，從而有AC⊥平面PBD，繼而得AC⊥PD，而EF∥AC，問(wèn)題得證；
（Ⅱ）三棱錐D-PEF的體積V_D-PEF轉(zhuǎn)化為求V_P-DEF即可．
解答：證明：（Ⅰ）連接BD，在△ABC中，∠ABC=90°，
∵AB=BC，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，
∴BD⊥AC…2′
又PB⊥平面ABC，而AC?平面ABC，
∴PB⊥AC，又因?yàn)锽D，PB?平面PBD且BD∩PB=B，
∴AC⊥平面PBD…4′
又∵PD?平面PBD，
∴AC⊥PD，
∵E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)，
∴EF∥AC，
∴EF⊥PD…6′
（Ⅱ）解：由題有，PB⊥平面DEF，又∠PAB=45°，故PB=2…8′
而V_D-PEF=V_P-DEF…10′
∵四邊形BEDF為正方形，|BE|=|ED|=1，
∴V_P-DEF=•S_△DEF•|PB|=×=
∴V_D-PEF=…12′
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的性質(zhì)，著重考查線面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用及輪換頂點(diǎn)的體積公式的應(yīng)用，屬于中檔題．