Question

如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=2

2

，AD=2，四邊形ABCD繞AD旋轉一周所成一個幾何體，
（1）畫出幾何體的直觀圖，
（2）求幾何體的體積，
（3）求幾何體的表面積．

Answer 1

分析：（1）旋轉后的幾何體是圓臺除去一個倒放的圓錐，由此可得幾何體的直觀圖
（2）根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)，求出圓臺的體積和圓錐的體積，相減后可得答案．
（3）根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)，求出圓臺的側面積、圓錐的側面積、圓臺的底面積，即可求出幾何體的表面積．

解答：解：四邊形ABCD繞AD旋轉一周所成的幾何體，如下圖所示：

（2）∵∠ADC=135°，AB=5，CD=2

2

，AD=2，
∴圓臺的下底面半徑為5，上底面半徑為2，高為4
圓錐的底面半徑為2，高為2
則S_{圓臺下底面}=π×5²=25π
S_{圓臺上底面}=π×2²=4π
則圓臺的體積V=

1

3

•（25π+10π+4π）•4=

156π

3

圓錐的體積V=

1

3

•4π•2=

8π

3

故幾何體的體積V=

156π

3

-

8π

3

=

148π

3

（3）S_表面=S_{圓臺下底面}+S_圓臺側面+S_圓錐側面
=πr₂²+π（r₁+r₂）l₂+πr₁l₁
=π×5²+π×（2+5）×5+π×2×2

2

=25π+35π+4

2

π
=60π+4

2

π

點評：本題是基礎題，考查旋轉體的表面積，轉化思想的應用，計算能力的考查，都是為本題設置的障礙，仔細分析旋轉體的結構特征，為順利解題創(chuàng)造依據(jù)．