已知函數(shù)f ( x )的圖像過點（3，5），且與函數(shù)的圖像關于直線x－y－1 = 0成軸對稱圖形．（Ⅰ）求函數(shù)f ( x )的解析式及其定義域；

（Ⅱ）如果f ( x－1 ) + f ( y－2 ) > f ( y ) + 1，求證：

 

答案：
解析：

解：（Ⅰ）設P(x，y)是函數(shù)y = f ( x )圖像上任一點，P點關于直線x－y－1 = 0的對稱點為Q（a，b）．

則 解得  a = y+1，b = x－1．

∵ 點Q ( y+1，x－1 )在函數(shù)g ( x )的圖像上，∴ ．

由此可解得 y = 2 log 2 (x－1+a) + 1．

又 f ( 3 ) = 5，可確定a = 2．

∴ f ( x ) = 2 log 2 (x + 1) + 1，其定義域為（－1，+∞）

（Ⅱ）由 f (x－1) + f ( y－2)> f ( y ) + 1 及（Ⅰ）可得

log2x + log2 (y－1) > log 2 ( y+1)

 

由  x (y－1) > y+1，且y－1>0得  ．

∴ ．

 


提示：

對于（Ⅰ）應注意把解析幾何中求與已知曲線關于已知直線對稱的曲線的方程的方法運用于此．對于（Ⅱ）把函數(shù)值的不等式轉化成自變量的不等式時，要注意函數(shù)單調性

 


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sinxcosφ+cosxsinφ（其中x∈R，0＜φ＜π）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)的圖象關于直線x=
π
6
對稱，求φ的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且當x＞0時，f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x，
（1）求x＜0，時f（x）的表達式；
（2）若關于x的方程f（x）-a=o有解，求實數(shù)a的范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=aInx-ax，（a∈R）
（1）求f（x）的單調遞增區(qū)間；（文科可參考公式：(Inx)′=
1
x
）
（2）若f′（2）=1，記函數(shù)g（x）=x3+x2•[f′(x)+
m
2
]，若g（x）在區(qū)間（1，3）上總不單調，求實數(shù)m的范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線3x-y+2=0平行，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn，則S2010的值為（　�。�
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是定義在區(qū)間（-1，1）上的奇函數(shù)，且對于x∈（-1，1）恒有f’（x）＜0成立，若f（-2a2+2）+f（a2+2a+1）＜0，則實數(shù)a的取值范圍是
 
．

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