Question

設(shè)圓C位于拋物線y²=2x與直線x=3所圍成的封閉區(qū)域（包含邊界）內(nèi)，則圓C的半徑能取到的最大值為

6

-1

．

Answer 1

分析：當(dāng)圓C半徑取最大值時，由對稱性知，圓心C應(yīng)在x軸上區(qū)間（0，3）內(nèi)，且圓C與直線x=3相切，設(shè)出圓的方程，與拋物線方程聯(lián)立，進而利用圓C與拋物線相切，判別式為0，可求得結(jié)論．

解答：解：當(dāng)圓C半徑取最大值時，由對稱性知，圓心C應(yīng)在x軸上區(qū)間（0，3）內(nèi)，且圓C與直線x=3相切，
設(shè)此時圓心為（a，0）（0＜a＜3），則圓C方程為（x-a）²+y²=（3-a）²?，把y²=2x代入其中得，（x-a）²+2x=（3-a）²?，
即x²+2（1-a）x+6a-9=0，
∵圓C與拋物線相切，判別式△=[2（1-a）]²-4（6a-9）=0，
∴（1-a）²-6a+9=0，
∴a²-8a+10=0，
∵0＜a＜3
∴a=4-

6

，
∴圓C半徑能取到的最大值為3-a=3-（4-

6

）=

6

-1
故答案為：

6

-1

點評：本題以直線與拋物線為載體，考查圓與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，綜合性強．