Question

10．已知f（x）=x³+log₂（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$），則對任意實數(shù)a，b而言，命題“a+b＞0”是命題“f（a）+f（b）≥0”的（　　）條件．

• A． 充分必要
• B． 充分非必要
• C． 必要非充分
• D． 既不充分也不必要

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及充分條件和必要條件的定義即可得到結(jié)論．

解答 解：f（x）定義域為R，f（x）+f（-x）=x³+（-x）³+log₂（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）+log₂（-x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）=0，
則f（x）為奇函數(shù)，x＞0時，根據(jù)復(fù)合函數(shù)“同增異減”原則以及函數(shù)四則運算容易看出f（x）=x³+log₂（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$），單調(diào)遞增，
又因為奇函數(shù)，因此f（x）在R單調(diào)遞增，
a+b＞0⇒f（a）＞f（-b）⇒f（a）+f（b）≥0，故：命題“a+b＞0”可以推出命題“f（a）+f（b）≥0”
若a=b=0，“f（a）+f（b）≥0”成立，但并不能推出“a+b＞0”，
故命題“a+b＞0”是命題“f（a）+f（b）≥0”的充分非必要條件，
故選：B

點評 本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．