Question

已知全集U=R，集合A={x|（x-2）（x-3）＜0}，函數(shù)y=lg

x-(a2+2)

a-x

的定義域為集合B．
（1）若a=

1

2

，求集合A∩（∁_UB）
（2）命題p：x∈A，命題q：x∈B，若q是p的必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)的定義域及其求法,必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）把a=

1

2

代入化簡集合AB，再取交集；
（2）由q是p的必要條件等價于p是q的充分條件，即A⊆B，化簡集合，列出不等式解a得范圍．

解答： 解：（1）因為集合A={x|2＜x＜3}，因為a=

1

2

函數(shù)y=lg

x- 9 4

1 2 -x

，由

x- 9 4

1 2 -x

＞0，
可得集合B={x|

1

2

＜x＜

9

4

}
C_UB={x|x≤

1

2

或x≥

9

4

}
故A∩（C_UB）={x|

9

4

≤x＜3}．
（2）因為q是p的必要條件等價于p是q的充分條件，即A⊆B
由A={x|2＜x＜3}，而集合B應滿足

x-(a2+2)

a-x

＞0，
因為a²+2-a=（a-

1

2

）²+

7

4

＞0
故B={x|a＜x＜a²+2}，
依題意就有：

a≤2 a2+2≥3

，
即a≤-1或1≤a≤2
所以實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-1]∪[1，2]．

點評：本題主要考查集合的化簡與運算，注意集合之間的關系是解題的關鍵，屬于基礎題．