已知a，b，c∈（0，1）．
（1）求式子（1-a）a的最大值；
（2）求證：（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a不能同時大于
【答案】分析：對于（1）求式子（1-a）a的最大值．考慮到和為定值1，故可以用直接用基本不等式求解，且等號成立時候取最大值．
對于（2）求證：（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a不能同時大于可用反證法假設(shè)可以同時大于，讓三個等式左邊右邊分別相乘得到，根據(jù)（1）中的結(jié)論可以判斷錯誤，故假設(shè)不成立，即得證．
解答：解：（1）∵a∈（0，1）
根據(jù)基本不等式∴（當(dāng)且僅當(dāng)時“=”成立）
∴a（1-a）的最大值是．
（2）證明：假設(shè)（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a同時大于
即
三式同向相乘得①
∵a∈（0，1），∴（1-a）a＞0，又由（1）知∴
同理∴
與①式矛盾，即假設(shè)不成立，故結(jié)論正確．
即得證．
點(diǎn)評：此題主要考查不等式的證明問題，題中涉及到基本不等式的應(yīng)用以及反證法證明不等式，題目計算量小但有一定的技巧性，而且反證思想在證明題中非常重要，同學(xué)們需要注意．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a，b，c∈（0，+∞），3a-2b+c=0，則
ac
b
的（　　）
A、最大值是
3
B、最小值是
3
C、最大值是
3
3
D、最小值是
3
3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a＞b＞c＞0，若P=
b-c
a
，Q=
a-c
b
，則（　�。�
A、P≥QB、P≤Q
C、P＞QD、P＜Q

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（選做題）已知a，b，c∈（0，+∞），且
1
a
+
2
b
+
3
c
=2，求a+2b+3c的最小值及取得最小值時a，b，c的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2007•浦東新區(qū)一模）（1）A、B、C為斜三角形ABC的三個內(nèi)角，tgA+tgB+1=tgAtgB．求角C；
（2）命題：已知A，B，C∈（0，π），若tgA+tgB+tgC=tgAtgBtgC，則A+B+C=π．判斷該命題的真假并說明理由．
（說明：試卷中的“tgA”在試點(diǎn)教材中記為“tanA”）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（選修4-5：不等式選講）已知a＞b＞c＞0，求證：a+
3
3(a-b)(b-c)c
≥6（并指出等號成立的條件）

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