Question

設(shè)f（x）是定于在（0，1）上的函數(shù)，且滿足：①對(duì)任意x∈（0，1），恒有f（x）＞0；②對(duì)任意x₁，x₂∈（0，1），恒有

f(x1)

f(x2)

+

f(1-x1)

f(1-x2)

≤2，則關(guān)于函數(shù)f（x）有：
（1）對(duì)任意x∈（0，1），都有f（x）＞f（1-x）；
（2）對(duì)任意x∈（0，1），都有f（x）=f（1-x）；
（3）對(duì)任意x∈（0，1），恒有f′（x）=0；
（4）當(dāng)x∈（0，1），函數(shù)y=

f(x)

x

+x為減函數(shù)．
上述四個(gè)命題中正確的有

（2）（3）

．

Answer 1

分析：觀察四個(gè)命題（1）（2）兩個(gè)不能同時(shí)成立，對(duì)于命題（1）（2）可采取令x₁=x，x₂=1-x，利用基本不等式證明；
（3）證明函數(shù)f（x）為常數(shù)即可．（4）利用（3）的結(jié)論證明（4）．

解答：解：因?yàn)閷?duì)任意x∈（0，1），恒有f（x）＞0，
所以令x₁=x，x₂=1-x，則

f(x)

f(1-x)

+

f(1-x)

f(x)

≥2

f(x) f(1-x) ? f(1-x) f(x)

=2，
由②知

f(x)

f(1-x)

+

f(1-x)

f(x)

≤2，所以必有

f(x)

f(1-x)

+

f(1-x)

f(x)

=2，當(dāng)且僅當(dāng)

f(x)

f(1-x)

=

f(1-x)

f(x)

=1，即f（x）=f（1-x）時(shí)取等號(hào)，所以（1）錯(cuò)誤，（2）正確．
（3）將②中的變量x₁，x₂，交換位置得

f(x2)

f(x1)

+

f(1-x2)

f(1-x1)

≤2，③，將②③相加得

f(x2)

f(x1)

+

f(1-x2)

f(1-x1)

+

f(x1)

f(x2)

+

f(1-x1)

f(1-x2)

≤4，
因?yàn)?span id="znbndnt" class="MathJye">

f(x2)

f(x1)

+

f(x 1)

f(x2)

≥2

f(x2) f(x1) ? f(x 1) f(x2)

=2，

f(1-x2)

f(1-x1)

+

f(1-x1)

f(1-x2)

≥2

f(1-x2) f(1-x1) ? f(1-x1) f(1-x2)

=2，
所以

f(x2)

f(x1)

+

f(x 1)

f(x2)

+

f(1-x2)

f(1-x1)

+

f(1-x1)

f(1-x2)

≥4，所以

f(x2)

f(x1)

+

f(x 1)

f(x2)

+

f(1-x2)

f(1-x1)

+

f(1-x1)

f(1-x2)

=4，
當(dāng)且僅當(dāng)，

f(x2)

f(x1)

=

f(x 1)

f(x2)

=1，

f(1-x2)

f(1-x1)

=

f(1-x1)

f(1-x2)

=1，取等號(hào)，所以f（x₁）=f（x₂），即對(duì)任意的變量x₁，x₂，都有所以f（x₁）=f（x₂），
所以f（x）為常數(shù)，所以f'（x）=0，所以（3）成立．
（4）因?yàn)閒（x）為常數(shù)，所以設(shè)f（x）=c＞0，
所以y=

f(x)

x

+x=

c

x

+x，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為y'=1-

c

x2

，當(dāng)x＞0時(shí)，由y'＜0得，0＜x＜

c

，所以函數(shù)在（0，

c

）上單調(diào)遞減，所以當(dāng)c＜1時(shí)，函數(shù)y=

f(x)

x

+x為減函數(shù)不一定正確．
故正確的是（2）（3）．

點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是抽象函數(shù)及其應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)造出可以利用基本不等式求最值的形式，利用等號(hào)成立的條件找到命題正確判斷的依據(jù)，綜合性較強(qiáng)，難度較大．