Question

經(jīng)過點(diǎn)F（0，1）且與直線y=-1相切的動(dòng)圓的圓心軌跡為M．點(diǎn)A、D在軌跡M上，且關(guān)于y軸對稱，過線段AD（兩端點(diǎn)除外）上的任意一點(diǎn)作直線，使直線與軌跡M在點(diǎn)D處的切線平行，設(shè)直線與軌跡M交于點(diǎn)B、C．
（1）求軌跡M的方程；
（2）證明：∠BAD=∠CAD；
（3）若點(diǎn)D到直線AB的距離等于，且△ABC的面積為20，求直線BC的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)動(dòng)圓圓心為（x，y），由直線與圓相切可得=|y+1|，整理即得軌跡M的方程；
（2）由題意，要證∠BAD=∠CAD，可證k_AC=-k_AB，設(shè)點(diǎn)D（），則得，設(shè)點(diǎn)C（x₁，），B（x₂，），則=，化簡可得①，由①及斜率公式可得k_AC+k_AB=0，從而得證；
（3）由點(diǎn)D到AB的距離等于|AD|，可知∠BAD=45°，不妨設(shè)點(diǎn)C在AD上方，即x₂＜x₁，直線AB的方程為：y-=-（x+x），與拋物線方程聯(lián)立可得點(diǎn)B的坐標(biāo)，從而可用x表示|AB|，同理可表示出|AC|，根據(jù)三角形面積為20可解得x，然后代入求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得所求直線方程；
解答：解：（1）設(shè)動(dòng)圓圓心為（x，y），依題意得，=|y+1|，整理，得x²=4y．
所以軌跡M的方程為x²=4y．
（2）由（1）得x²=4y，即y=，則．
設(shè)點(diǎn)D（），由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，直線的斜率為，
由題意知點(diǎn)A（-x，）．設(shè)點(diǎn)C（x₁，），B（x₂，），
則==，即x₁+x₂=2x，
因?yàn)閗_AC==，k_AB==，
由于k_AC+k_AB=+==0，即k_AC=-k_AB，
所以∠BAD=∠CAD；
（3）由點(diǎn)D到AB的距離等于|AD|，可知∠BAD=45°，
不妨設(shè)點(diǎn)C在AD上方，即x₂＜x₁，直線AB的方程為：y-=-（x+x）．
由，解得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x-4，），
所以|AB|=|（x-4）-（-x）|=2|x-2|．
由（2）知∠BAD=∠CAD=45°，同理可得|AC|=2|x+2|，
所以△ABC的面積S==4|-4|=20，解得x=±3，
當(dāng)x=3時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1，），，
直線BC的方程為y-（x+1），即6x-4y+7=0；
當(dāng)x=-3時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-7，），，
直線BC的方程為y-=-（x+7），即6x+4y-7=0．
點(diǎn)評：本小題主要考查動(dòng)點(diǎn)的軌跡和直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、導(dǎo)數(shù)的幾何意義等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力和推理論證能力等．