Question

無窮等差數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為整數(shù)，首項(xiàng)為a₁、公差為d，S_n是其前n項(xiàng)和，3、21、15是其中的三項(xiàng)，給出下列命題；
①對(duì)任意滿足條件的d，存在a₁，使得99一定是數(shù)列{a_n}中的一項(xiàng)；
②對(duì)任意滿足條件的d，存在a₁，使得30一定是數(shù)列{a_n}中的一項(xiàng)；
③存在滿足條件的數(shù)列{a_n}，使得對(duì)任意的n∈N^*，S_2a=4S_n成立．
其中正確命題為

①③

．（寫出所有正確命題的序號(hào)）

Answer 1

分析：利用等差數(shù)列的公式，分別討論前n項(xiàng)和3、21、15的具體項(xiàng)數(shù)，然后進(jìn)行推理即可．首先根據(jù)條件得出d≤6；①99-21=78能被6整除，且=13，假設(shè)15和21之間有n項(xiàng)，那么99和21之間有13n項(xiàng)，得出結(jié)論；②30-21=9不能被6整除，如果d=6，那么30一定不是數(shù)列{a_n}中的一項(xiàng)，得出結(jié)論．③利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式化簡(jiǎn)S_2n=4S_n，得出結(jié)論

解答：解：要使等差數(shù)列的公差最大，則3，15，21因?yàn)橄噜彽那皀項(xiàng)和，此時(shí)對(duì)應(yīng) 兩項(xiàng)為15-3=12，21-15=6，所以d≤6．
①99-21=78能被6整除，且

78

6

=13，假設(shè)15和21之間有n項(xiàng)，那么99和21之間有13n項(xiàng)，所以99一定是數(shù)列{a_n}中的一項(xiàng)，所以①正確．
②30-21=9不能被6整除，如果d=6，那么30一定不是數(shù)列{a_n}中的一項(xiàng)，所以②錯(cuò)誤．
③如果有S_2n=4S_n，那么由等差數(shù)列求和公式有：2na₁+n（2n-1）•d=4[na₁+

n(n-1)d

2

]，化簡(jiǎn)得到，d=2a₁，所以只要滿足條件d=2a₁的數(shù)列{a_n}，就能使得對(duì)任意的n∈N^*，S_2n=4S_n成立，所以③正確．
故答案為：①③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)條件得出公差．考查學(xué)生分析問題，解決問題的能力，綜合性較強(qiáng)，難度較大．