已知函數(shù)f(x)=,a∈R.
(Ⅰ)當(dāng)a=時(shí),求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn);
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)在導(dǎo)函數(shù)f′(x)的單調(diào)區(qū)間上也是單調(diào)的,求a的取值范圍;
(Ⅲ) 當(dāng)0<a<時(shí),設(shè)g(x)=f(x)-()lnx-(a+)x2+(2a+1)x,且x1,x2是函數(shù)g(x)的極值點(diǎn),證明:g(x1)+g(x2)>3-2ln2.
【答案】分析:(Ⅰ)f(x)=x2-lnx+x,(x>0),f′(x)=x-+1=0,由此能求出函數(shù)f(x)的極值點(diǎn).
(Ⅱ)f′(x)=(x>0),令g(x)=x2-2ax+a2+a,△=4a2-3a2-2a=a2-2a,設(shè)g(x)=0的兩根x1,x2(x1<x2),由此進(jìn)行分類討論,能求出a的取值范圍.
(Ⅲ) g(x)=-lnx-ax2+x,g′(x)=--2ax+1=-.令g′(x)=0,即2ax2-x+1=0,當(dāng)0<a<時(shí),△=1-8a>0,所以,方程2ax2-x+1=0的兩個(gè)不相等的正根x1,x2,設(shè)x1<x2,則當(dāng)x∈(0,x1)∪(x2,+∞)時(shí),g′(x)<0,當(dāng)x∈(x1,x2)時(shí),g′(x)>0,所以g(x)有極小值點(diǎn)x1和極大值點(diǎn)x2,且x1+x2=,x1x2=.由此能夠證明g(x1)+g(x2)>3-2ln2.
解答:解:(Ⅰ)f(x)=x2-lnx+x  (x>0),f′(x)=x-+1=0,
∴x1=,x2=(不在定義域內(nèi),舍)
∴(0,]單調(diào)減,[,+∞)單調(diào)增,
∴f(x)在x=時(shí)取極小值,且是唯一極值.
(Ⅱ)f′(x)=(x>0)
令g(x)=x2-2ax+a2+a,△=4a2-3a2-2a=a2-2a,
設(shè)g(x)=0的兩根x1,x2(x1<x2
1 當(dāng)△≤0時(shí),即0≤a≤2,f′(x)≥0,
∴f(x)單調(diào)遞增,滿足題意;
2 當(dāng)△>0時(shí)  即a<0或a>2時(shí),
(1)若x1<0<x2,則 a2+a<0,
即-<a<0時(shí),f(x)在(0,x2)上減,(x2,+∞)上增,
f′(x)=x+-2a,f''(x)=1-≥0,
∴f′(x) 在(0,+∞)單調(diào)增,不合題意
(2)若x1<x2<0 則,
即a≤-時(shí)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)增,滿足題意.
(3)若0<x1<x2,
即a>2時(shí),∴f(x)在(0,x1)單調(diào)增,(x1,x2)單調(diào)減,(x2,+∞)單調(diào)增,
不合題意.綜上得a≤-或0≤a≤2.
(Ⅲ) g(x)=-lnx-ax2+x,g′(x)=--2ax+1=-
令g′(x)=0,即2ax2-x+1=0,
當(dāng)0<a<時(shí),△=1-8a>0,
所以,方程2ax2-x+1=0的兩個(gè)不相等的正根x1,x2,設(shè)x1<x2,
則當(dāng)x∈(0,x1)∪(x2,+∞)時(shí),g′(x)<0,
當(dāng)x∈(x1,x2)時(shí),g′(x)>0,
所以g(x)有極小值點(diǎn)x1和極大值點(diǎn)x2,且x1+x2=,x1x2=
g(x1)+g(x2)=-lnx1-ax+x1-lnx2-ax+x2
=-(lnx1+lnx2)-(x1-1)-(x2-1)+(x1+x2
=-ln(x1x2)+(x1+x2)+1
=ln(2a)+…+1.
令h(a)=ln(2a)++1,a∈(0,],
則當(dāng)a∈(0,)時(shí),h′(a)=-=<0,h(a)在(0,)單調(diào)遞減,
所以h(a)>h()=3-2ln2,
即g(x1)+g(x2)>3-2ln2.
點(diǎn)評(píng):本題考查函數(shù)的極值點(diǎn)和實(shí)數(shù)的取值范圍的求法,考查不等式的證明.解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=sinxcosφ+cosxsinφ(其中x∈R,0<φ<π).
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)
的圖象關(guān)于直線x=
π
6
對(duì)稱,求φ的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x,
(1)求x<0,時(shí)f(x)的表達(dá)式;
(2)若關(guān)于x的方程f(x)-a=o有解,求實(shí)數(shù)a的范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=aInx-ax,(a∈R)
(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(文科可參考公式:(Inx)=
1
x

(2)若f′(2)=1,記函數(shù)g(x)=x3+x2[f(x)+
m
2
]
,若g(x)在區(qū)間(1,3)上總不單調(diào),求實(shí)數(shù)m的范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2-bx的圖象在點(diǎn)A(1,f(1))處的切線l與直線3x-y+2=0平行,若數(shù)列{
1
f(n)
}
的前n項(xiàng)和為Sn,則S2010的值為( 。
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間(-1,1)上的奇函數(shù),且對(duì)于x∈(-1,1)恒有f’(x)<0成立,若f(-2a2+2)+f(a2+2a+1)<0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
 

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案