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已知向量
m
=（sinA，cosA），
n
=（
3
，-1），（
m
-
n
）⊥
m
，且A為銳角．
（Ⅰ） 求角A的大小；
（Ⅱ） 求函數f（x）=cos2x+4cosAsinx（x∈R）的值域．
分析：（Ⅰ）由題意得，利用兩個向量的數量積的定義以及兩個向量垂直的性質可得可得（
m
-
n
）•
m
=0，解得
sin（A-
π
6
） 的值，再由A為銳角求得A的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知cosA=
1
2
，化簡f（x）=
3
2
-2(sinx-
1
2
)2，由sinx∈[-1，1]，利用二次函數的性質求得
f（x）的最大值和最小值，即可求得所求函數f（x）的值域．
解答：解：（Ⅰ）由題意得，向量
m
=（sinA，cosA），
n
=（
3
，-1），可得
m
•
n
=
3
sinA-cosA，
再由（
m
-
n
）⊥
m
，可得（
m
-
n
）•
m
=
m
2-
m
•
n
=1-
3
sinA+cosA=2sin（A-
π
6
）-1=0，
解得 sin（A-
π
6
）=
1
2
．
再由A為銳角得 A-
π
6
=
π
6
，故有A=
π
3
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知cosA=
1
2
，所以f（x）=cos2x+2sinx=1-2sin2x+2sinx=
3
2
-2(sinx-
1
2
)2，
因為x∈R，所以sinx∈[-1，1]，因此，當sinx=
1
2
時，f（x）有最大值
3
2
，
當sinx=-1時，f（x）有最小值-3，所以所求函數f（x）的值域是[-3，
3
2
]．
點評：本題主要考查兩個向量坐標形式的運算，兩個向量垂直的性質，三角函數的恒等變換及化簡求值，復合三角
函數的單調性，二次函數的性質應用，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
m
=（sinθ，2cosθ），
n
=（
3
，-
1
2
）
（Ⅰ）當θ∈[0，π]時，求函數f（θ）=
m
×
n
的值域；
（Ⅱ）若
m
∥
n
，求sin2θ的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
m
=（sin（A-B），sin(
π
2
-A)），
n
=（1，2sinB），且
m
•
n
=-sin2C，其中A、B、C分別為△ABC的三邊a、b、c所對的角．
（Ⅰ）求角C的大�。�
（Ⅱ）若sinA+sinB=
3
2
sinC，且S△ABC=
3
，求邊c的長．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量m=（sinωx，cosωx），n=（cosωx，
3
cosωx）且0＜ω＜2，函數f（x）=m•n，且f（
π
3
）=
3
2
．
（Ⅰ）求ω；
（Ⅱ）將函數y=g（x）的圖象向右平移
π
3
個單位，再將所得圖象上各點的橫坐標縮短為原來的
1
4
，得到函數y=f（x）的圖象，求函數g（x）的解析式及其在[-
π
3
，
π
3
]上的值域．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
m
=（sinωx，1），
n
=（
3
Acosωx，
A
2
cos2ωx）（A＞0，ω＞0），函數f（x）=
m
•
n
的最大值為3，且其圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為π．
（I）求函數f（x）的解析式；
（II）將函數y=f（x）的圖象向左平移
π
6
個單位，再將所得圖象上各點的橫坐標縮短為原來的
1
2
倍，縱坐標不變，得到函數y=g（x）的圖象．
（1）求函數g（x）的單調遞減區(qū)間；
（2）求函數g（x）在[
π
4
，
π
2
]上的值域．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量m=(cosθ,sinθ),n=(-sinθ,cosθ),θ∈(π,2π),且|m+n|=,求cos(+)的值.

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