Question

設(shè)x，y滿足

x-y+5≥0 x+y≥0 x≥3

求
（1）z=x²+y²的最大值和最小值
（2）z=

y

x-5

的最大值和最小值
（3）z=|2x-y+4|的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃

專題：

分析：（1）作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用x²+y²的幾何意義求最小值．
（2）直線的斜率的最值求解即可．
（3）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，設(shè)d=

|2x-y+4|

22+1

=

|2x-y+4|

5

表示可行域內(nèi)一點(diǎn)（x，y）到直線2x-y+4=0的距離的

5

倍．觀察圖形可得當(dāng)可行域內(nèi)點(diǎn)與B重合時(shí)，d達(dá)到最小值，由此即可算出z=|2x-y+4|最值．

解答： 解：（1）設(shè)z=x²+y²，則z的幾何意義為動(dòng)點(diǎn)P（x，y）到原點(diǎn)距離的平方．
作出不等式組

x-y+5≥0 x+y≥0 x≥3

對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖
由圖象可知點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離最大，
由

x-y+5=0 x=3

，可得A（3，8）
所以z=x²+y²的最大值為z=（3-0）²+（8-0）²=73．
x=0，y=0時(shí)，z=x²+y²的最小值為0．
（2）設(shè)P（x，y）為區(qū)域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，可得
Z=

y

x-5

表示直線P、Q連線的斜率，其中Q（5，0）
運(yùn)動(dòng)點(diǎn)P，可得當(dāng)P與A點(diǎn)重合時(shí)，Z=

8-0

3-5

=-4，取得最小值，k=-4，
當(dāng)P與B點(diǎn)（3，-3）重合時(shí)，Z=

0+3

5-3

=

3

2

，達(dá)到最大值，
∴z=

y

x-5

的最大值和最小值分別為：

3

2

，-4．
（3）∵z=|2x-y+4|的幾何意義是可行域內(nèi)的點(diǎn)到直線2x-y+4=0的距離的

5

倍，
∴d=

|2x-y+4|

5

，當(dāng)可行域內(nèi)的點(diǎn)在直線2x-y+4=0上時(shí)，距離最小，最小值為0，B到直線的距離最大，z=|2x-y+4|的最大值為：

5

×

|2×3-(-3)+4|

5

=13．

點(diǎn)評(píng)：本題給出二元一次不等式組表示的平面區(qū)域，求幾個(gè)目標(biāo)函數(shù)的最值和取值范圍．著重考查了平面內(nèi)兩點(diǎn)的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式和簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．