Question

已知等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且點P_n（a_n+1，S_n）（n∈N^*）在函數(shù)f（x）=x+1的圖象上．
（1）求a₁的值；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足：4b1•4b2…4bn=4n(1-Sn)bn，且b₂=5．求數(shù)列{b_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）利用條件把a_n+1和S_n的關系式找到，再求出前3項，利用等比數(shù)列的性質(zhì)即可求出a₁的值；
（2）先求出等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，代入求出數(shù)列{b_n}的通項與前n項和為之間的關系式，再利用此關系式推出數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，結(jié)合b₂=5即可求數(shù)列{b_n}的通項公式．

解答：解：（1）因為點P_n（a_n+1，S_n）在函數(shù)f（x）=x+1的圖象上，
所以S_n=a_n+1+1（n∈N^*），因為S₁=a₁=a₂+1，a₂=a₁-1，a₁+a₂=S₂=a₃+1，a₃=2a₁-2．
又數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，所以a₂²=a₁a₃，即（a₁-1）²=a₁（2a₁-2），
故a₁=-1，或a₁=1（舍去）．
（2）由（1）知數(shù)列{a_n}是以a₁=-1為首項，q=2為公比的等比數(shù)列．
所以Sn=

-1(1-2n)

1-2

=1-2ⁿ，1-S_n=2ⁿ．
由4b1•4b24bn=4b1+b2+…+bn=4n(1-Sn)bn=22n•2nbn=22n+nbn，
得2（b₁+b₂+…+b_n）=2n+nb_n對n∈N^*成立．①
則2（b₁+b₂+…+b_n+b_n+1）=2（n+1）+（n+1）b_n+1對n∈N^*成立．②
②-①，得2b_n+1=2+（n+1）b_n+1-nb_n，即（n-1）b_n+1+2=nb_n對n∈N^*成立．③
則有nb_n+2+2=（n+1）b_n+1對n∈N^*成立．④
④-③，得nb_n+2-（n-1）b_n+1=（n+1）b_n+1-nb_n，n（b_n+2+b_n）=2nb_n+1，
即b_n+2+b_n=2b_n+1對n∈N^*成立．由等差數(shù)列定義，知{b_n}為等差數(shù)列．
當n=1時，由①式得2b₁=2+b₁，b₁=2，則公差d=b₂-b₁=3，
所以b_n=2+3（n-1）=3n-1（n∈N^*）．

點評：本題綜合考查了函數(shù)和數(shù)列的性質(zhì)應用．這一類型題一般是做為壓軸題或較難的題目出現(xiàn)的．