Question

如圖正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)M是棱AA₁的中點(diǎn)，點(diǎn)O是BD₁的中點(diǎn)，求證：OM是異面直線AA₁，BD₁的公垂線，并求OM的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：由題意及正方體的特點(diǎn)可以建立如圖示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量的知識(shí)證明兩條直線垂直；通過(guò)

OM

的坐標(biāo)，直接求出模即可得到OM的長(zhǎng)．

解答：解：以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系D-xyz
則A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），
A′（1，0，1），C′（0，1，1），D′（0，0，1）
（1）因?yàn)辄c(diǎn)M是棱AA′的中點(diǎn)，點(diǎn)O是BD′的中點(diǎn)
所以M（1，0，

1

2

），O（

1

2

，

1

2

，

1

2

），

OM

=（

1

2

，-

1

2

，0），

AA′

=（0，0，1），

BD′

=（-1，-1，1），
∴

OM

•

AA′

=0，

OM

•

BD′

=-

1

2

+

1

2

+0=0
所以O(shè)M⊥AA′，OM⊥BD′
又因?yàn)镺M與異面直線AA′和BD′都相交，
故OM為異面直線AA′和BD′的公垂線；
∵

OM

=（

1

2

，-

1

2

，0），
∴|OM|=

1 4 + 1 4

=

2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查異面直線的垂直的判斷，正方體中的距離計(jì)算等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力和邏輯推理能力，應(yīng)用向量知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力．