Question

設(shè)a₁，a₂，a₃，a₄是等差數(shù)列，且滿足1＜a₁＜3，a₃=4，若bn=2an，給出下列命題：（1）b₁，b₂，b₃，b₄是一個(gè)等比數(shù)列； （2）b₁＜b₂； （3）b₂＞4； （4）b₄＞32； （5）b₂b₄=256．其中真命題的個(gè)數(shù)是（　　）

Answer 1

分析：由于a₁，a₂，a₃，a₄是等差數(shù)列，且滿足1＜a₁＜3，a₃=4，可得其公差

1

2

＜d＜

3

2

，而b_n=2an為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的性質(zhì)對(duì)（1）、（2）、（3）、（4）、（5）逐個(gè)判斷即可．

解答：解：∵a₁，a₂，a₃，a₄是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，又1＜a₁＜3，a₃=4，
∴a₃=4=a₁+（3-1）d，即1＜4-2d＜3，
∴

1

2

＜d＜

3

2

．
∵b_n=2an，
∴

bn+1

bn

=2an+1-an=2^d＞1（n=1，2，3，4），
∴{b_n}為等比數(shù)列，故（1）正確；（2）正確；
又b₂=

b3

2d

=

24

2d

=2^4-d＞24-

3

2

=2

5

2

＞2²=4，故（3）正確；
b₄=b₃•2^d=2⁴•2^d=2^4+d＞24+

1

2

=16

2

，故（4）錯(cuò)誤；
又b₂b₄=b32=（2⁴）²=256，故（5）正確．
綜上所述，真命題的個(gè)數(shù)是4個(gè)．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與性質(zhì)，數(shù)量掌握其通項(xiàng)公式與性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬于中檔題．